salve sono nuovo del forum, ho qualche problema nel capire perchè il limite:
$
\lim_{n\to\infty}(n^4) \cdot cos ( \frac {3} n)- n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|}
$
abbia come risultato 27/2.
ho provato lo svolgimento, ho trovato la forma indeterminata,ho razzionalizzato e ho fatto delle semplificazioni. poi mi blocco e non riesco ad andare avanti.
sono arrivato a:
$
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac { n \cdot cos(\frac{3} n) -|9-n^2| } \sqrt {|9-n^{2}|}
$
qualcuno puo' aiutarmi a trovare uno svolgimento corretto o quali teoremi possono essermi d'aiuto in casi simili?
quali sono i siti migliori per imparare a svolgere esercizi di analisi 1 e 2?
rigrazio anticipatamente per l'aiuto.
svolgimento di limite.
Re: svolgimento di limite
Razionalizzando a me viene:
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5} \cdot {cos}^{2}(\frac{3}n)-n^{5}+9n^{3}}{n \cdot cos(\frac{3}n)+\sqrt{n^{2}-9}} $
dove ho sostituito $ |9-n^{2}| $ con $ (n^{2}-9) $ in maniera tale che la radice quadrata sia definita.
A questo punto al numeratore scrivo lo sviluppo di Taylor del coseno fino alla 4 potenza e al denominatore si vede facilmente che rimane 2n. Quindi ottengo:
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}(1-\frac{9}{n^{2}}+\frac{81}{4n^{4}}+\frac{27}{4n^{4}})-n^{5}+9n^{3}}{2n} $=
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{27n}{2n} $=$ \frac{27}{2} $
Bye
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5} \cdot {cos}^{2}(\frac{3}n)-n^{5}+9n^{3}}{n \cdot cos(\frac{3}n)+\sqrt{n^{2}-9}} $
dove ho sostituito $ |9-n^{2}| $ con $ (n^{2}-9) $ in maniera tale che la radice quadrata sia definita.
A questo punto al numeratore scrivo lo sviluppo di Taylor del coseno fino alla 4 potenza e al denominatore si vede facilmente che rimane 2n. Quindi ottengo:
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}(1-\frac{9}{n^{2}}+\frac{81}{4n^{4}}+\frac{27}{4n^{4}})-n^{5}+9n^{3}}{2n} $=
$ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{27n}{2n} $=$ \frac{27}{2} $
Bye
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J@ckH@mm€r
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forse ho sbagliato o a semplificare o razzionalizzare.
ho razzionalizzato cosi:
$ \lim_{n\to\infty}\frac {(n^4) \cdot cos ( \frac {3} n) - n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} \cdot (n^4) \cdot cos ( \frac {3} n)+ n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} } {(n^4) \cdot cos ( \frac {3} n) + n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} } $
poi ho ho fatto alcune semplificazioni. tu come hai fatto ad ottenere $ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5} \cdot {cos}^{2}(\frac{3}n)-n^{5}+9n^{3}}{n \cdot cos(\frac{3}n)+\sqrt{n^{2}-9}} $ ?
poi hai trasformato $ \sqrt {9-n^{2}} $ in $ \sqrt {n^{2}-9} $ perche' il limite tende a $ +\infty $ ?
ho razzionalizzato cosi:
$ \lim_{n\to\infty}\frac {(n^4) \cdot cos ( \frac {3} n) - n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} \cdot (n^4) \cdot cos ( \frac {3} n)+ n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} } {(n^4) \cdot cos ( \frac {3} n) + n^{3} \cdot \sqrt {|9-n^{2}|} } $
poi ho ho fatto alcune semplificazioni. tu come hai fatto ad ottenere $ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5} \cdot {cos}^{2}(\frac{3}n)-n^{5}+9n^{3}}{n \cdot cos(\frac{3}n)+\sqrt{n^{2}-9}} $ ?
poi hai trasformato $ \sqrt {9-n^{2}} $ in $ \sqrt {n^{2}-9} $ perche' il limite tende a $ +\infty $ ?
Ultima modifica di J@ckH@mm€r il 19 set 2007, 13:41, modificato 1 volta in totale.
La razionalizzazione e' giusta a meno di parentesi.
E' del tipo $ \displaystyle\frac{(a-b)\cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b} $
Poi ho raccolto $ \displaystyle n^{3} $ al numeratore e al denominatore, ho semplificato, ed ho ottenuto la mia espressione.
Si, la sostituzione del valore assoluto e' valida perche il limite e' a $ \displaystyle+\infty $ e la quantita' sotto la radice quadrata deve essere maggiore uguale a zero.
Bye
E' del tipo $ \displaystyle\frac{(a-b)\cdot(a+b)}{a+b}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b} $
Poi ho raccolto $ \displaystyle n^{3} $ al numeratore e al denominatore, ho semplificato, ed ho ottenuto la mia espressione.
Si, la sostituzione del valore assoluto e' valida perche il limite e' a $ \displaystyle+\infty $ e la quantita' sotto la radice quadrata deve essere maggiore uguale a zero.
Bye
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J@ckH@mm€r
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J@ckH@mm€r
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scusa se ti disturbo ancora ma non ho capito come hai trovato il polinomio di taylor del $ \cos^{2} (x) $ che ti viene $ \displaystyle\(1-\frac{9}{n^{2}}+\frac{81}{4n^{4}}+\frac{27}{4n^{4}} $.
lo sviluppo di taylor del $ \cos^{2} (x) $ mi risulta che sia:
$ 1 - \frac {x^{2}} 2! + \frac {x^{4}} 4! -\frac {x^{6}} 6! -....... $
sostituendo $ x =\frac {3}n $ non riesco a ottenere il tuo stesso risultato. tu come hai fatto?
lo sviluppo di taylor del $ \cos^{2} (x) $ mi risulta che sia:
$ 1 - \frac {x^{2}} 2! + \frac {x^{4}} 4! -\frac {x^{6}} 6! -....... $
sostituendo $ x =\frac {3}n $ non riesco a ottenere il tuo stesso risultato. tu come hai fatto?
Quello che hai scritto tu e' lo sviluppo del $ \displaystyle cos(x) $!!!
Per avere lo sviluppo fino al quarto ordine del $ \displaystyle{cos}^2(x) $ devi sviluppare il coseno e poi tenere tutte le potenze di ordine minore uguale a quattro che ottieni quadrando considerando anche tutti i doppi prodotti!!!
Esempio:
Se hai $ \displaystyle(a+bx^{2}+cx^{4})^{2} $ le potenze di grado minore uguale a quattro che puoi avere dallo sviluppo sono:
$ \displaystyle a^{2}+2abx^{2}+b^{2}x^{4}+2acx^{4} $
Bye
Per avere lo sviluppo fino al quarto ordine del $ \displaystyle{cos}^2(x) $ devi sviluppare il coseno e poi tenere tutte le potenze di ordine minore uguale a quattro che ottieni quadrando considerando anche tutti i doppi prodotti!!!
Esempio:
Se hai $ \displaystyle(a+bx^{2}+cx^{4})^{2} $ le potenze di grado minore uguale a quattro che puoi avere dallo sviluppo sono:
$ \displaystyle a^{2}+2abx^{2}+b^{2}x^{4}+2acx^{4} $
Bye