Protone in campo elettrico

[Pigkappa]

Un protone viene messo, da fermo, lungo una linea di forza di un campo elettrico E. Determinare se la traiettoria del protone coinciderà necessariamente con la linea di forza su cui si trova. Non considerare gli effetti di eventuali altri campi (gravitazionale, magnetico...) che potrebbero essere presenti.

Poi semmai spiego perchè ho postato questa stupidaggine, intanto fatela

[Verbal Moon]

Un protone viene messo, da fermo, lungo una linea di forza di un campo elettrico E. Determinare se la traiettoria del protone coinciderà necessariamente con la linea di forza su cui si trova. Non considerare gli effetti di eventuali altri campi (gravitazionale, magnetico...) che potrebbero essere presenti.

Le linee di forze sono la soluzione del sistema di equazioni differenziali
y'(x)=Ey(x,y,z)/Ex(x,y,z)
z'(x)=Ez(x,y,z)/Ex(x,y,z)
in realtà ci sono altyri due sistemi a questo equivalenti in cui la coordinata libera è y o z la cui forma si ricava in maneira ovvia da questo cambiando opportunamente le lettere e che a seconda dei casi possono essere più facili da risolvere
La traiettoria di una carica puntiforme invece è descritta parametricamente da questo sistema di equazioni differenziali
mx''(t)=qEx(x(t),y(t),z(t))
my''(t)=qEy(x(t),y(t),z(t))
mz''(t)=qEz(x(t),y(t),z(t))
con le condizioni iniziali x'(0)=y'(0)=z'(0)=0 e qualsiasi sulla posizione
per avere la stessa traiettoria si dovrebbe dimostrare che questi due sistemi hanno sempre la stessa soluzione (o meglio che la soluzione del secondo, una volta eliminato t, è soluzione anche del primo)
Una soluzione del genere non può esisitere perchè è ovvio che la soluzione del secondo sistema dipende dal rapporto q/m e quindi anche se esistesse un valore di tale rapporto che rendesse uguali le soluzioni dei due sistemi per una particolare soluzione di campo basterebbe modificare quel rapporto per avere una carica puntiforme che non si muove sulla linea di forza. Inoltre è evidente che quel particolare valore di q/m non può avere la proprietà di far muovere la carica puntiforme lungo le linee di forza per qualunque configurazione di campo.
Per esempio se esistesse q/m che rende uguali le soluzioni dei due sistemi prendo una configurazione di campo in cui le cariche sorgenti sono il doppio di prima, questo rende il campo elettrico in ogni punto esattamente il doppio di prima. Questo non modifica il primo sistema di equazioni ma modifica il secondo che non sarà equivalente al caso precedente se non per configurazioni particolari di campo.
Per cui un protone non si muove lungo una linea di forza qualunque sia il campo elettrico presente.
Si può anche ragionare in quest'altro modo: dalla meccanica sappiamo che l'unico moto in cui il valore dell'accelerazione non influenza la forma della traiettoria è il moto rettilineo. Questo ci permette di dire che, tranne per i campi con linee di forza rettilinee (condensatore o singola carica puntiforme), cariche con rapporto q/m (che determina l'inerzia rispetto al campo elettrico, invece che rispetto alla forza elettrica) diverso avranno traiettorie diverse nella stessa configurazione di campo.
Quindi non c'è motivo per cui un protone si debba muovere lungo le linee di forza qualunque sia la configurazione di campo.
Infine c'è la dimostrazione analitica
Riscriviamo i sistemi così
y'(x)=Ey/Ex
z'(x)=Ez/Ex

mx''(t)=qEx
my''(t)=qEy
mz''(t)=qEz

dove sottintendiamo la dipendenza spaziale del campo e indichiamo con l'apice sia la derivata rispetto a x che rispetto a t, la ariabile di derivazione è indicata tra parentesi. Allora possiamo riscrivere
y''(t)=(x'(t))^2y''(x)+y'(x)x''(t) idem per z
allora le equazioni del secondo sistema diventano
x''(t)=q/mEx
(x'(t))^2y''(x)+y'(x)x''(t)=q/mEy
(x'(t))^2z''(x)+z'(x)x''(t)=q/mEz

supponendo che i due sistemi abbiano la stessa traiettoria come soluzione prendiamo y'(x) e z'(x) dal primo sistema e x''(t) dalla prima equazione del secondo, quindi le ultime due equazioni del secondo diventano

(x'(t))^2y''(x)=0
(x'(t))^2z''(x)=0

che possono essere risolte solo se x non varia nel tempo (cioè se Ex=0, ma questo vuol dire che il primo sistema non è ben definito e va riscritto quindi questa soluzione non va bene) oppure se y''(x) e z''(x) sono nulle, cioè, come detto prima, se le linne di forza sono rettilinee

[Pigkappa]

Quella domanda era stata messa dal mio prof di fisica nel test per la cancellazione del debito, e si aspettava come risposta che il protone segue le linee di campo. Io avevo trovato un controesempio, ma non aveva capito quel che dicevo e volevo vedere se si provava a sviscerare il problema che ne veniva fuori. Grazie per la trattazione completissima!

[BMcKmas]

Le varie argomentazioni di Verbal Moon (bel nome!) sono corrette.
Ne propongo una più elementare (magari adatta anche al prof. di Pigkappa).

Supponiamo che il protone stia percorrendo una linea di forza localmente curva a una velocità non nulla (cosa che accade se le linee di forza non sono rettilinee e se il protone non è fermo...): come si spiega la forza centripeta?

[memedesimo]

Magari il povero prof intendeva chiedere se inizialmente il protone segue oppure no la linea di forza, non quando è già in movimento

[Pigkappa]

Le varie argomentazioni di Verbal Moon (bel nome!) sono corrette.
Ne propongo una più elementare (magari adatta anche al prof. di Pigkappa).

Supponiamo che il protone stia percorrendo una linea di forza localmente curva a una velocità non nulla (cosa che accade se le linee di forza non sono rettilinee e se il protone non è fermo...): come si spiega la forza centripeta?

Questo è esattamente quello che gli ho detto io (io ho fatto l'esempio del campo circolare), solo che lui mi ha risposto rifacendomi l'esempio del campo generato da una carica... Io ho insistito (è un po' sordo e vecchiotto, quindi a volte ci sono incomprensioni) e mi ha detto che non capiva che campo intendevo, così gli ho spiegato che quel campo si può generare ad esempio facendo variare linearmente B in una spira. Lui ha risposto che in quel caso non segue più le linee di forza perchè quando comincia a muoversi è soggetto anche alla forza magnetica, al chè ho rinunciato perchè mi ero stufato...

[BMcKmas]

Forse l'esempio più semplice era quello di un protone in un campo generato da due cariche (per esempio di segno opposto).

Si può anche fare una analogia gravitazionale con un satellite e due pianeti...

E' evidente che nel caso di un campo generato da una sola carica la cosa funziona: le linee di forza sono rettilinee!

[GennadyUraltsev]

Vabbeh, anche se l'argomento e` un po` esaurito, non e` normale che uno dia dimostrazione attraverso esempio (caso del tuo prof). Non avrebbe potuto andare a fare filosofia? Cioe` a un problema fisico del genere (ovviamente non quando capita nella verifica) la risposta giusta da dare mi sembrerebbe: "E` perche dovrebbe?"

Comunque un controesempio ancora piu` stupido: Se fosse come dice il tuo prof, allora sarebbe che la velocita` di un corpo e` sempre colineare alla forza applicata..... Il che mi sembra proprio falso.

[BMcKmas]

Non esageriamo! Il controesempio generale che riporti non è del tutto appropriato.
Nel caso in questione si ha un corpo che parte su una linea di forza (quindi da fermo) e POI se ne separa...
Se già dall'inizio la velocità non è parallela alla forza la questione è di una banalità assoluta e il problema non sarebbe stato posto.

ciao