Salti razionali

[giumazz]

Una rana parte dall'origine degli assi di un piano cartesiano e compie salti tutti di lunghezza unitaria. Essendo una rana molto "razionale" decide che può atterrare solo su punti con entrambe le coordinate razionali.
Ci si chiede se con un numero opportuno di salti può raggiungere un qualunque punto a coordinate razionali.

P.S: Il problema l'ho ideato io (questo non esclude ovviamente che lo si trovi in altra veste da qualche parte) e assicuro che ha una soluzione non ovvia, ma accessibile. L'eventualità è che ne abbia una banale che non vedo.

[darkcrystal]

Direi di no... se a/d e b/d sono gli spostamenti lungo i due assi, $ a^2+b^2=d^2 $. Per fatti ormai arcinoti a questo forum, la potenza di 3 (tanto per dirne una) che divide d^2 è la stessa che divide a^2 e b^2... perciò gli spostamenti non avranno mai 3 (e nessuno dei primi congrui a 3 mod 4) come fattore del denominatore, una volta ridotte ai minimi termini.
Perciò la rana non potrà mai cadere, diciamo, su (1/3,0): infatti $ \displaystyle x=\sum \frac{a_i}{d_i}=\frac{K}{\prod d_i} $ dove K è un intero e $ 3 \not | \prod d_i $.

Convince qualcuno ?

Ciao!

[giumazz]

A me convince. La mia idea era simile (anche se un po' meno efficace) e dimostrava che non posso arrivare ad esempio sulla retta x=1/2.

[albert_K]

un rilancio, più facile dopo quello che ha detto darkcrystal, sarebbe di determinare l'insieme dei punti raggiungibili con quel tipo di salti.