Uno spunto interessante in una (pallosa) lezione di algebra lineare...
Sia $ $V=\{x\in\mathbb{R}\ |\ x>0\} $. Chiaramente $ $(V,*) $, dove * è l'usuale prodotto, è un gruppo abeliano.
Definire su $ $V $ una struttura di spazio vettoriale su $ $\mathbb{Q} $, in modo che la prima operazione ("la somma") sia * (l'usuale prodotto in $ $\mathbb{R} $).
Quante strutture di questo tipo si possono costruire?
E' vero che ogni gruppo abeliano si "atteggia" a $ $\mathbb{Q} $-spazio vettoriale?
Trovare in $ $V $ almeno un insieme infinito linearmente indipendente.
Gruppi che si "atteggiano"
-
Anonima Psicologi
- Messaggi: 1
- Iscritto il: 11 ott 2007, 19:28
Cerco di rispondere... anche se magari qualche domanda non è chiarissima.
Intanto notiamo che, siccome $ ~ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $, (V,*) è isomorfo a (R,+).
Però (R,+), essendo un campo che contiene Q, è naturalmente uno spazio vettoriale su Q. Sul V l'operazione esterna diventa $ ~ r^q $ (dove r è reale e q razionale...), però a questo punto è insensato usare V al posto di R...
Ora, sia * una operazione esterna buona per (R,+) come spazio vettoriale su Q, . la normale moltiplicazione tra reali. Sia v un reale. Allora 1*v = v per assioma. Inoltre, sempre per gli assiomi: 1*(n.v) = 1*(v+v+...+v) = 1*v + ... + 1*v = (1+....+1)*v, quindi se n è naturale allora n*v = nv. Se $ ~ q=\frac ab \in \mathbb{Q} $ allora per quanto detto ora $ ~ q*v = \frac ab * v =\frac ab * (b \cdot \frac 1b \cdot v) = \frac ab * (b * ( \frac 1b \cdot v) = a * (\frac 1b \cdot v) = \frac ab \cdot v $, quindi * è la normale moltiplicazione e la risposta alla domanda è "una sola".
- un gruppo abeliano per atteggiarsi a Q-spazio vettoriale dovrebbe almeno non avere nessun elemento con ordine finito (a parte l'identità), questo perchè se $ ~ (a+a+...+a) = 0 $ allora $ ~ 0=1*(a+a+ \ldots +a) = 1*a + 1*a + \ldots + 1*a = (1+1+\ldots +1)*a = n*a = 0 $. Moltiplicando per 1/n, vediamo che $ ~ 1*a = a = 0 $.
Per l'ultima beh, trovare è una parola grossa... esplicitamente non saprei dirlo.
Però supponendo che R sia a dimensione finita su Q, per un noto teorema deve essere isomorfo a $ ~ Q^n $, che è numerabile, assurdo.
Intanto notiamo che, siccome $ ~ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $, (V,*) è isomorfo a (R,+).
Però (R,+), essendo un campo che contiene Q, è naturalmente uno spazio vettoriale su Q. Sul V l'operazione esterna diventa $ ~ r^q $ (dove r è reale e q razionale...), però a questo punto è insensato usare V al posto di R...
Ora, sia * una operazione esterna buona per (R,+) come spazio vettoriale su Q, . la normale moltiplicazione tra reali. Sia v un reale. Allora 1*v = v per assioma. Inoltre, sempre per gli assiomi: 1*(n.v) = 1*(v+v+...+v) = 1*v + ... + 1*v = (1+....+1)*v, quindi se n è naturale allora n*v = nv. Se $ ~ q=\frac ab \in \mathbb{Q} $ allora per quanto detto ora $ ~ q*v = \frac ab * v =\frac ab * (b \cdot \frac 1b \cdot v) = \frac ab * (b * ( \frac 1b \cdot v) = a * (\frac 1b \cdot v) = \frac ab \cdot v $, quindi * è la normale moltiplicazione e la risposta alla domanda è "una sola".
- un gruppo abeliano per atteggiarsi a Q-spazio vettoriale dovrebbe almeno non avere nessun elemento con ordine finito (a parte l'identità), questo perchè se $ ~ (a+a+...+a) = 0 $ allora $ ~ 0=1*(a+a+ \ldots +a) = 1*a + 1*a + \ldots + 1*a = (1+1+\ldots +1)*a = n*a = 0 $. Moltiplicando per 1/n, vediamo che $ ~ 1*a = a = 0 $.
Per l'ultima beh, trovare è una parola grossa... esplicitamente non saprei dirlo.
Però supponendo che R sia a dimensione finita su Q, per un noto teorema deve essere isomorfo a $ ~ Q^n $, che è numerabile, assurdo.
-
Stoppa2006
- Messaggi: 51
- Iscritto il: 28 nov 2006, 20:12
Un sistema infinito di vettori indipendenti di $ (\mathbb{R},+) $ come spazio vettoriale su $ \mathbb{Q} $ potrebbe essere l'insieme delle radici quadrate dei numeri primi positivi, anche se questo ovviamente non è una base, sia per un fatto di cardinalità come diceva edriv, sia perchè tutto ciò che si può generare da questi sono numeri algebrici (e nemmeno tutti...), comunque è un insieme infinito di vettori indipendenti.
