Salve..sono alle prime armi col calcolo differenziale...
Dovrei dire se l'insieme A=n/(n+1), n=0,1,2,3.... è limitato, ed eventualmente trovare l'estremo inferiore e superiore...
Io ho pensato che l'estremo superiore fosse 1 e l'inf. fosse 0....Sbaglio?
estremo superiore e inferiore
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Ponnamperuma
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- Località: Torino
Mah, cosi' a occhio no... Provaci per induzione, non dovrebbe essere difficile... Dimostri la crescenza della successione degli $ A_n $ (li battezzo cosi'...) e esibendo lo zero per n=0 provi l'estremo inferiore... Poi dimostri che gli elementi della successione sono sempre <1 e hai finito... no?
Ciao!
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La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
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No, facendo proprio come hai detto tu non hai finito, devi ancora dimostrare che gli $ ~ A_n $ vanno arbitrariamente vicino ad 1.
(per ogni e>0 esiste un n tale che $ ~ |A_n-1| < e $...)
Ma visto che $ ~ |A_n - 1| = |\frac{n}{n+1} - 1| = \frac 1 {n+1} $, dimostrare che quest'ultima cosa tende a 0 non è difficile...
(per ogni e>0 esiste un n tale che $ ~ |A_n-1| < e $...)
Ma visto che $ ~ |A_n - 1| = |\frac{n}{n+1} - 1| = \frac 1 {n+1} $, dimostrare che quest'ultima cosa tende a 0 non è difficile...
Certo che sì: se il limite è 1, sicuramente andrà arbitrariamente vicino a 1, e se è crescente, non può essere maggiore o uguale a 1, altrimenti tutti i termini da un certo punto in poi sarebbero maggiori di un a maggiore di 1, e quindi il limite non potrebbe essere 1.
Però visto che Dario dice di essere alle prime armi, forse per lui è meglio applicare direttamente la definizione.
Però visto che Dario dice di essere alle prime armi, forse per lui è meglio applicare direttamente la definizione.
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Ponnamperuma
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Giusto, edriv, altrimenti mi limito a provare che la successione è limitata superiormente da 1, senza dimostrare che esso è il minimo dei maggioranti... grazie...
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Altro modo...
$ \displaystyle \frac{n}{n+1}=1- \frac{1}{n+1} $.
La successione $ \displaystyle \left\{\frac{n}{n+1}\right\} $ è dunque crescente. Se è crescente $ \displaystyle 1= \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\mbox{ sup } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\} $ (è un teorema utile).
Se la successione è crescente, il primo termine è il più piccolo. Segue $ \displaystyle \mbox{ inf } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\}=0 $
$ \displaystyle \frac{n}{n+1}=1- \frac{1}{n+1} $.
La successione $ \displaystyle \left\{\frac{n}{n+1}\right\} $ è dunque crescente. Se è crescente $ \displaystyle 1= \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\mbox{ sup } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\} $ (è un teorema utile).
Se la successione è crescente, il primo termine è il più piccolo. Segue $ \displaystyle \mbox{ inf } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\}=0 $
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell