Limite

[Pigkappa]

Calcolare (e dimostrare...):

$ \displaystyle lim_{x\to+\infty} ((x^3+x^2)^{1/3}-(x^3-x^2)^{1/3}) $

[darkcrystal]

A questo punto suppongo ci sia il trucco, perchè mi sembra troppo facile...
Beh l'interprete Tex ci sclera, quindi diamo dei nomi... $ a=(x^3+x^2)^{\frac{1}{3}} $, e $ b=(x^3-x^2)^{\frac{1}{3}} $
Moltiplicando sopra e sotto per il solito fattore opportuno (a^2+b^2+ab) si perviene a $ \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2+ab} $. Dividendo sopra e sotto (tanto x è non nullo in un intorno di +infinito) per x^2 viene una roba del tipo $ \frac{2}{(1+1/x)^{2/3}+(1-1/x)^{2/3}+(1-1/x^2)^{1/3}} $, il denominatore tende a 3, il numeratore è 2... quindi 2/3?

[darkcrystal]

Peraltro mi sono reso conto adesso che viene (quasi più facilmente) con l'espansione del binomio (quella per esponenti non interi, si intende...)

[Pigkappa]

A questo punto suppongo ci sia il trucco, perchè mi sembra troppo facile...
Beh l'interprete Tex ci sclera, quindi diamo dei nomi... $ a=(x^3+x^2)^{\frac{1}{3}} $, e $ b=(x^3-x^2)^{\frac{1}{3}} $
Moltiplicando sopra e sotto per il solito fattore opportuno (a^2+b^2+ab) si perviene a $ \frac{a^3-b^3}{a^2+b^2+ab} $. Dividendo sopra e sotto (tanto x è non nullo in un intorno di +infinito) per x^2 viene una roba del tipo $ \frac{2}{(1+1/x)^{2/3}+(1-1/x)^{2/3}+(1-1/x^2)^{1/3}} $, il denominatore tende a 3, il numeratore è 2... quindi 2/3?

No, non c'è nessun trucco e viene proprio 2/3. Solo che non avevo mai visto come metodo quello di moltiplicare per quel "fattore opportuno". Grazie!