Matrice di cambiamento di base
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The_Ouroboros
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Matrice di cambiamento di base
Qualcuno mi può spiegare meglio questo concetto..
GNU/Linux x86_64 User
Hai uno spazio vettoriale A a dimensione finita.
Fissata una base $ ~ v_1,\ldots,v_n $, ogni trasformazione lineare da A in sè la puoi scrivere come una matrice, in questo modo: una trasformazione lineare è determinata univocamente dall'immagine di ciascun elemento della base. L'immagine di un vettore la puoi scrivere unicamente come una n-upla $ [tex] $~ (a_1,\ldots,a_n) di elementi del tuo campo, per indicare $ ~ a_1v_1 + \ldots + a_nv_n $. Mettendo in riga o in colonna queste n n-uple ottieni una tabellina quadrata che è la tua matrice.
Questo però, stiamo attenti, fissata una base. Scegliendo una base diversa, alla stessa trasformazione lineare assocerò (forse... diciamo probabilmente) una matrice diversa.
Posso fare anche l'inverso: data una matrice, posso "interpretarla" secondo una base, per ottenere una trasformazione lineare. Interpretandola secondo un'altra base, forse otterrò una trasformazione lineare diversa.
Ora metti che hai una matrice A. Sia T la trasformazione lineare che si ottiene interpretando A secondo la base $ ~ v_1,\ldots,v_n $. Hai un'altra base $ ~ w_1,\ldots,w_n $. Tu vorresti una matrice B che, interpretata secondo la base $ ~ w_1,\ldots,w_n $, ti dia la stessa trasformazione lineare T.
Come faccio a trovare B? Sia $ ~ C $ la trasformazione lineare che manda $ v_1 \rightarrow w_1,\ldots, v_n\rightarrow w_n $ (e che quindi è invertibile, perchè manda una base in una mase).
Prova a dimostrare che: $ ~ AC = CB $ (se non sbaglio...).
È tutta una questione di punti di vista dimostrarlo... prova un po'.
Fissata una base $ ~ v_1,\ldots,v_n $, ogni trasformazione lineare da A in sè la puoi scrivere come una matrice, in questo modo: una trasformazione lineare è determinata univocamente dall'immagine di ciascun elemento della base. L'immagine di un vettore la puoi scrivere unicamente come una n-upla $ [tex] $~ (a_1,\ldots,a_n) di elementi del tuo campo, per indicare $ ~ a_1v_1 + \ldots + a_nv_n $. Mettendo in riga o in colonna queste n n-uple ottieni una tabellina quadrata che è la tua matrice.
Questo però, stiamo attenti, fissata una base. Scegliendo una base diversa, alla stessa trasformazione lineare assocerò (forse... diciamo probabilmente) una matrice diversa.
Posso fare anche l'inverso: data una matrice, posso "interpretarla" secondo una base, per ottenere una trasformazione lineare. Interpretandola secondo un'altra base, forse otterrò una trasformazione lineare diversa.
Ora metti che hai una matrice A. Sia T la trasformazione lineare che si ottiene interpretando A secondo la base $ ~ v_1,\ldots,v_n $. Hai un'altra base $ ~ w_1,\ldots,w_n $. Tu vorresti una matrice B che, interpretata secondo la base $ ~ w_1,\ldots,w_n $, ti dia la stessa trasformazione lineare T.
Come faccio a trovare B? Sia $ ~ C $ la trasformazione lineare che manda $ v_1 \rightarrow w_1,\ldots, v_n\rightarrow w_n $ (e che quindi è invertibile, perchè manda una base in una mase).
Prova a dimostrare che: $ ~ AC = CB $ (se non sbaglio...).
È tutta una questione di punti di vista dimostrarlo... prova un po'.
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The_Ouroboros
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Esempio pratico in R2:
Ho una trasformazione che mi raddoppia tutto lungo l'asse Y (nella base canonica ossia e1=(1 0) e2=(0 1)) che posso scrivere come
|2 0|
|0 1|
Ora se io cambio base, cioè mi oriento su altri due vettori, per esempio v1=(1 1) (-1 1) (ho ruotato praticamente il mio sitema di riferimento di 45 gradi in senso antiorario)la mia trasformazione diventa
|2 -1|
|2 1|
La matrice di cambiamento di base è una matrice che moltiplicata alla prima mi dà la seconda, quindi se non erro
|1 -0,5|
|2 1|
E' abbastanza pratico?
PS. I vettori si intendono scritti in colonna ma prometto che imparerò a usare il tex. Inoltre ho fatto tutti i conti a mente quindi potrebbero esserci degli errori. Se ci sono ditemelo!!!
Ho una trasformazione che mi raddoppia tutto lungo l'asse Y (nella base canonica ossia e1=(1 0) e2=(0 1)) che posso scrivere come
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Ora se io cambio base, cioè mi oriento su altri due vettori, per esempio v1=(1 1) (-1 1) (ho ruotato praticamente il mio sitema di riferimento di 45 gradi in senso antiorario)la mia trasformazione diventa
|2 -1|
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La matrice di cambiamento di base è una matrice che moltiplicata alla prima mi dà la seconda, quindi se non erro
|1 -0,5|
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E' abbastanza pratico?
PS. I vettori si intendono scritti in colonna ma prometto che imparerò a usare il tex. Inoltre ho fatto tutti i conti a mente quindi potrebbero esserci degli errori. Se ci sono ditemelo!!!