Tangente e Cotangente

[regular_isa]

Buonasera a tutti !
Se vi capitasse di dover dare la definizione di tangente in un compito scritto , dareste la definizione di tangente come funzione goniometrica ?

Grazie .. comunque il compito è di analisi 1 !!

[Ponnamperuma]

EDIT: Non badate troppo a quello che ho scritto... evidentemente non ho pensato ad almeno un'infinità non numerabile di controesempi... Rettifico, parzialmente, cambiando "curva" in "curva chiusa convessa" (si dice??)...

Uhm... domanda curiosa e quantomeno ambigua...
Di che cos'era il compito scritto? Di geometria piana o di trigonometria?...
Nel primo caso, la tangente a una curva chiusa convessa in un punto è quella retta, le cui intersezioni con la curva nel punto sono coincidenti (o, se preferisci, la cui intersezione è unica...).
Altrimenti, se hai un triangolo rettangolo, la tangente di uno degli angoli acuti è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all'angolo e la lunghezza di quello adiacente... Più sbrigativamente, la tangente di un angolo è il rapporto tra il suo seno e il suo coseno...

Qual era il caso?

[pic88]

Nel primo caso, la tangente a una curva in un punto è quella retta, le cui intersezioni con la curva nel punto sono coincidenti (o, se preferisci, la cui intersezione è unica...).

Non mi risulta. Ci sono controesempi in tutti i sensi, ossia una parabola e il suo asse (unica intersezione, non tangenti) oppure una cubica con punto stazionario e la tangente in quel punto (due intersezioni)... Penso che la definizione più "semplice" sia quella che usa l'analisi, con riferimento alla tangente al grafico di una funzione derivabile...ovviamente non esaurisce la definizione più generale di tangenza (chissà qual è), ma se chi ha postato fa il liceo, dovrebbe bastare..

Cmq dal titolo penso si riferisse alla funzione goniometrica.
Quindi va bene il rapporto seno/coseno, quando esiste, salvo poi non sapere nemmeno cosa siano esattamente queste quantità (in analisi le si definisce rigorosamente senza coinvolgere misure di angoli o archi, che al liceo vengono presentati come concetti intuitivi)

[pic88]

Ah ecco, ora leggo che era di analisi 1. Per curiosità, come avete definito seno e coseno?
In genere si enuncia un teorema di esistenza di funzioni che godono di certe proprietà, ma non tutti usano le stesse (noi ad es l'abbiam fatto senza derivate)

[hydro]

Nel primo caso, la tangente a una curva in un punto è quella retta, le cui intersezioni con la curva nel punto sono coincidenti (o, se preferisci, la cui intersezione è unica...).

Non mi risulta. Ci sono controesempi in tutti i sensi, ossia una parabola e il suo asse (unica intersezione, non tangenti) oppure una cubica con punto stazionario e la tangente in quel punto (due intersezioni)... Penso che la definizione più "semplice" sia quella che usa l'analisi, con riferimento alla tangente al grafico di una funzione derivabile...ovviamente non esaurisce la definizione più generale di tangenza (chissà qual è), ma se chi ha postato fa il liceo, dovrebbe bastare..

Cmq dal titolo penso si riferisse alla funzione goniometrica.
Quindi va bene il rapporto seno/coseno, quando esiste, salvo poi non sapere nemmeno cosa siano esattamente queste quantità (in analisi le si definisce rigorosamente senza coinvolgere misure di angoli o archi, che al liceo vengono presentati come concetti intuitivi)

Per amor di cronaca, si definisce retta tangente ad una curva in un punto P una retta passante per P e tale che la molteplicità di intersezione tra la curva e la retta nel punto sia $ \ge 2 $.

Quanto alla definizione seno e coseno, ricordo che c'è stata una discussione su questo stesso forum un tot di tempo fa a proposito di questo argomento, in cui si diceva che il seno ad esempio è l'unica soluzione su R di una certa equazione differenziale...

[albert_K]

Credo sia l'unica $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $
tale che
$ \begin{cases} y'' + y = 0 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=1 \end{cases} $

oppure $ \displaystyle f(x) := \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $