alcune proprietà delle coniche nei quadrilateri

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Teorema (Own): Sia ABCD un quadrilatero e siano W e W' due punti su AB, X e X' due punti su BC, Y e Y' due punti su CD e Z e Z' due punti su DA.
Allora se vale $ \displaystyle \frac{AW}{WB} \cdot \frac{AW'}{WB'} \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{BX'}{X'C} \cdot \frac{CY}{YD} \cdot \frac{CY'}{Y'D} \cdot \frac{DZ}{ZA} \cdot \frac{DZ'}{Z'A} = 1 $ si ha che W, W', X, X', Y, Y' Z, Z' stanno sulla stessa conica.
E viceversa presi W, W', X, X', Y, Y' Z, Z' sui lati in modo che stiano su una conica vale la relazione.

Lemma: preso un quadrilatelo ABCD, e una conica passante per B e D che interseca AB in W, BC in X, CD in Y e DA in Z chiamiamo $ P: WY \cap XZ $, allora P sta su AC.

Corollario Preso un quadrilatero ABCD e una conica passante per i suoi vertici sia W l'intersezione della tangente in A alla conica e della tangente in B alla conica, X di quella in B con quella in C, Y di quella in C con quella in D e Z di quella in D con quella in A, allora AC, BD, WY, XZ concorrono.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

chiaramente il corollario ha una simpatica generalizzazione :

Generalizzazione: Preso un ellisse e un n-agono inscritto a esso con n pari in modo che le diagonali concorrano in un punto P, si costruisca l'n-agono con i vertici determinati dalle tangenti all'ellisse a vertici adiacenti. Dimostrare che le diagonali di questo n-agono concorrono in P.

[per diagonale si intende la retta che unisce due vertici opposti]

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Generalizzazione anche del Teorema :

Teorema generalizzato:

Presa una conica che incontra ogni lato di un n-agono $ S_i $ in 2 punti $ A_i $ e $ B_i $ con $ 1 \le i \le n $, chiamiamo $ S_i = \overline{P_iP_{i+1}} $ con $ 1 \le i \le n $ (e n+1=1) allora si ha che:

$ \displaystyle \prod_{i=1}^n \left [ \frac{\overline{A_i P_i}}{\overline{A_iP_{i+1}}} \cdot \frac{\overline{B_i P_i}}{\overline{B_iP_{i+1}}} \right ] = 1 $

[Tibor Gallai]

allora si ha che:

$ \displaystyle \prod_{i=1}^n \left [ \frac{\overline{A_i P_i}}{\overline{A_iP_{i+1}}} \cdot \frac{\overline{B_i P_i}}{\overline{B_iP_{i+1}}} \right ] $

...=1?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

già mi ero dimenticato la cosa più importante...

[julio14]

allora si ha che:

$ \displaystyle \prod_{i=1}^n \left [ \frac{\overline{A_i P_i}}{\overline{A_iP_{i+1}}} \cdot \frac{\overline{B_i P_i}}{\overline{B_iP_{i+1}}} \right ] $

...=1?

Ma allora gabriel non parla da solo!!!
scusate l'OT

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Ma allora gabriel non parla da solo!!!
scusate l'OT

accidenti mi hanno scoperto era solo una prova per vedere se c'era veramente qualcuno che leggeva le mie boiate

dai su, ora risolvete!