problema 6 della finale gara a squadre di cesenatico 2008

[matteo mp]

vorrei riuscire a trovare la soluzione di questo problema che presenta una radice a denominatore da razionalizzare:
1 fratto 1-rad4-rad16-rad64-rad256-rad1024
dove le radici sono una sotto l'altra...
mi potreste rispondere???
grazie

[salva90]

per induzione fisica viene 1

[matteo mp]

essendo che sono 1 ragazzo di terza liceo e non so ancora cosa sia l'induzione fisica me la potresti spiegare...
grazie

[giove]

Mi sa che Salva stava scherzando...

Comunque quella roba la puoi scrivere meglio così:

$ \frac{1}{1-\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}} $

[fph]

Benvenuto matteo,
una copia del messaggio dovrebbe bastare, ho cancellato le altre 2.

Intanto ti consiglio di dare un'occhiata alle regole del forum, alle f.a.q. e ai consigli su dove mettere i messaggi.
Buona Navigazione

[Alex90]

Lo fai razionalizzando con il discorso
$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $

$ \frac{1}{1-\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}} $
$ \frac{1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}}{\left(1-\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}\right)\left(1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}\right)} $
$ \frac{1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}}{1-4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}} $
$ -\frac{1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}}{3+\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}} $
$ -\frac{\left(1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}\right)\left(3-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)}{\left(3+\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)\left(3-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)} $
$ -\frac{\left(1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}\right)\left(3-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)}{9-4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}} $
$ \frac{\left(1+\sqrt{4-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}}\right)\left(3-\sqrt{4^2-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)}{7+\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}} $

evito ora di riscrivere ogni volta il numeratore dal momento che è inutile ai fini del problema, tenendo comunque conto che anche il numeratore va moltiplicato...

$ d=7+\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}} $
$ d=\left(7+\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right)\left(7-\sqrt{4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}}}\right) $
$ d=49-4^3-\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}} $
$ d=15+\sqrt{4^4-\sqrt{4^5}}} $

Ora semplifichiamo $ \sqrt{4^4-\sqrt{4^5}} $

Dal momento che $ 4=2^2 $ la possiamo riscrivere come

$ \sqrt{4^4-\sqrt{2^2^5}} $
$ \sqrt{4^4-2^5} $
$ \sqrt{2^8-2^5} $
$ \sqrt{2^4\left(2^3-2\right)} $
$ 4\sqrt{2^3-2} $
$ 4\sqrt{14} $

Perciò

$ d=15+4\sqrt{14} $
$ d=\left(15+4\sqrt{14}\right)\left(15-4\sqrt{14}\right) $
$ d=15^2-16 \cdot 14=225-224=1 $

[matteo mp]

ma quindi dato che la domanda era il denominatore della frazione ai minimi termini la risposta è 0001

[Pigkappa]

e continui così finchè alla fine il denominatore sarà 1

Non ho capito, intenderesti ripetere il procedimento svolgendo tutti i conti fino alla fine? Non credo fosse quella l'idea di chi ha inventato il problema...

Per induzione fisica viene davvero subito (per n=1, 2, 3 il denominatore fa 1...), e immagino che a questo punto sia facile dimostrarlo anche con l'induzione vera (ma ovviamente in gara non ci siamo messi a farlo...).

[gabri]

Lo fai razionalizzando con il discorso
$ (a+b)(a-b)=a^2+b^2 $

ahem...

[Alex90]

Lo fai razionalizzando con il discorso
$ (a+b)(a-b)=a^2+b^2 $

ahem...

scritto di fretta...corretto

e continui così finchè alla fine il denominatore sarà 1

Non ho capito, intenderesti ripetere il procedimento svolgendo tutti i conti fino alla fine? Non credo fosse quella l'idea di chi ha inventato il problema...

Per induzione fisica viene davvero subito (per n=1, 2, 3 il denominatore fa 1...), e immagino che a questo punto sia facile dimostrarlo anche con l'induzione vera (ma ovviamente in gara non ci siamo messi a farlo...).

solamente al denominatore, dal momento che viene 1 non devi neanche pensare a eventuali riduzioni con il numeratore...si tratta di 4-5 prodotti somma per differenza no?

[Pigkappa]

si tratta di 4-5 prodotti somma per differenza no?

Sì, ma quei conti sono un po' antipatici da fare in una gara a squadre. Inoltre sei stato fortunato che chi ha scritto il testo non ha avuto voglia di arrivare fino a $ \displaystyle 4^{15} $ ma si è fermato prima... Non penso che sia questo il modo più furbo e veloce per risolverlo.

[Alex90]

si tratta di 4-5 prodotti somma per differenza no?

Sì, ma quei conti sono un po' antipatici da fare in una gara a squadre. Inoltre sei stato fortunato che chi ha scritto il testo non ha avuto voglia di arrivare fino a $ \displaystyle 4^{15} $ ma si è fermato prima... Non penso che sia questo il modo più furbo e veloce per risolverlo.

Probabile...ma allora qual'è il metodo furbo e veloce?