10 semplici problemini da forogeometras

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ 1\blacktriangleright $

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[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

UP!! nemmeno uno? dai assicuro l'esistenza di una soluzione trigonometrica in ognuno di essi

[peppeporc]

UP!! nemmeno uno? dai assicuro l'esistenza di una soluzione trigonometrica in ognuno di essi

Saran troppo facili e quindi snobbabili

Anyway, rompo il ghiaccio con il primo; non mi va di fare i conti quindi solo ragionamento:
ABC è isoscele (si trova facilmente), quindi BC=BA;
tutti gli angoli non noti si esprimono in funzione di x;
teorema dei seni nei triangoli ABD e BDC applicato alle coppie di lati (BA=BC, BD), (BC, BD) e, mettendo a sistema le due uguaglianze, si ricava un'espressione in funzione di seno e coseno di x, fine.

[peppeporc]

Vai col ragionamento del $ 4\blacktriangleright $.
Si ha facilmente ABD isoscele con AB=BD;
questa volta si possono ricavare tutti gli angoli tranne ACD che vale 54-x;
teorema dei seni nei triangolo ABC e ADC applicato alle coppie di lati (AB=AD, AC) e (AD, AC) e stessa storia: si mettono a sistema le uguaglianze e si ricava un'espressione in funzione di seno e coseno di x.

[Alex89]

Ok io provo il $ 5\blacktriangleright $.
Puro angle chasing:
$ CAB=180°-78°-48°=64° $

$ DBC=180°-24°-18°=128° $

Allora D è il centro della circonferenza circoscritta. Quindi
$ ADB=48°*2=96° $ e $ BAD=180°-54°-96°=30° $

[mod_2]

10 semplici problemini da forogeometras

ma questo vuol dire che su quel forum ci sono tutte le soluzioni?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Ok io provo il $ 5\blacktriangleright $.
Puro angle chasing:
$ CAB=180°-78°-48°=64° $

$ DBC=180°-24°-18°=128° $

Allora D è il centro della circonferenza circoscritta. Quindi
$ ADB=48°*2=96° $ e $ BAD=180°-54°-96°=30° $

Direi che in questa soluzione parecchie cose non tornano, apparte i conti sbagliati e gli scambi di lettere l'affermazione sottolineata è falsa.

[Agostino]

provo con il 7:

ho assegnato alla base come lunghezza $ 2l $...da lì si ricava facilmente quanto sia il lato del triangolo isoscele...$ 1.0055l $...con il teorema dei seni si trovano gli altri due lati del triangolo "grosso"...detto $ E $ il punto di incontro al centro del triangolo per intenderci...si possono ricavare tutti i lati del triangolo...compreso quello interno che salvo errori di calcolo dovrebbe essere $ 3.9l $...con il teorema dei seni si trova $ \alpha $ che dovrebbe essere uguale a $ 6° $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

provo con il 7:
ho assegnato alla base come lunghezza $ 2l $...da lì si ricava facilmente quanto sia il lato del triangolo isoscele...$ 1.0055l $...con il teorema dei seni si trovano gli altri due lati del triangolo "grosso"...detto $ E $ il punto di incontro al centro del triangolo per intenderci...si possono ricavare tutti i lati del triangolo...compreso quello interno che salvo errori di calcolo dovrebbe essere $ 3.9l $...con il teorema dei seni si trova $ \alpha $ che dovrebbe essere uguale a $ 6° $

beh, però usi delle misure approssimative quindi otterrai un risultato approssimativo, poi se vuoi usare il coseno di 6° puoi farlo ma almeno scrivendolo con le radici, poi il lato interno lo dovresti ricavare con carnot il che non giova alla vista.
Comunque i problemi sono stati fatti per delle soluzioni sintetiche

[Alex90]

$ 5\blacktriangleright $

Cominciamo col notare che $ \widehat{BAC}=180°-54°-24°-18°-30°=54° $
Chiamiamo $ \beta $ l'angolo $ \widehat{DAC} $
Risulta che $ \alpha + \beta = 54° $
Sfruttiamo il Teorema di Ceva per notare che
$ \sin\alpha \cdot \sin24 \cdot \sin30=\sin \beta \cdot \sin 54 \cdot \sin18 $

Adesso la faccio un po' per aria...speriamo che è accettabile

$ \sin 54 \cdot \sin18=\frac{\sqrt5 +1}{4} \cdot \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=\frac{1}{4} $

Inoltre $ \sin 24 $ è un "brutto" numero...notiamo che anche $ \sin 30 \cdot \sin 30 = \frac{1}{4} $ e guarda caso $ 54-30 =24 $

Quindi $ \alpha = 30° $

[Alex90]

$ 6\blacktriangleright $

Stesso discorso di sopra

Sia $ \alpha = \widehat{DAC} $ abbiamo che $ \beta + \alpha = 180° -84°-12°-24°-30°=30° $

Sempre il teorema di Ceva

$ \sin\beta \cdot \sin12 \cdot \sin30=\sin \alpha \cdot \sin 84 \cdot \sin24 $
$ \sin\beta \cdot \sin(2\cdot6) \cdot \sin30=\sin \alpha \cdot \cos 6 \cdot \sin24 $
$ \sin\beta \cdot 2\sin6\cos6 \cdot \sin30=\sin \alpha \cdot \cos 6 \cdot \sin24 $
$ \sin\beta \cdot 2\sin6 \cdot \sin30=\sin \alpha \cdot \sin24 $
$ \sin\beta \cdot 2\sin6 \cdot \frac{1}{2}=\sin \alpha \cdot \sin24 $
$ \sin\beta \cdot \sin6 =\sin \alpha \cdot \sin24 $

Ricordiamo che $ \beta + \alpha = 30° $ perciò $ \beta = 24° $

[Alex90]

$ 8\blacktriangleright $

Per il teorema dei seni abbiamo che

$ \frac{AB}{\sin30}=\frac{AC}{\sin 66}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{\sin30}{\sin 66} $

Prolunghiamo $ BD $ fino a intersecare $ AC $ in $ E $

Abbiamo che $ \widehat{BEC}=138° $

Teorema dei seni su $ BEC $ e $ ABE $:

$ \frac{EC}{\sin12}=\frac{BE}{\sin30}\Rightarrow EC=\frac{BE\sin12}{\sin 30} $
$ \frac{AE}{\sin54}=\frac{BE}{\sin84}\Rightarrow AE=\frac{BE\sin54}{\sin 84} $

$ AC = AE + EC = BE\left(\frac{\sin12}{\sin30}+\frac{\sin54}{\sin84}\right) $

Ora teorema dei seni su $ DEC $ e $ BDC $:

$ \frac{DC}{\sin138}=\frac{DE}{\sin12}\Rightarrow DE=\frac{DC\sin12}{\sin 138} $
$ \frac{DC}{\sin12}=\frac{BD}{\sin18}\Rightarrow BD=\frac{DC\sin18}{\sin 12} $

$ BE = BD + DE = DC \left(\frac{\sin12}{\sin138}+\frac{\sin18}{\sin12}\right) $

$ AC = DC\left(\frac{\sin12}{\sin138}+\frac{\sin18}{\sin12}\right)\left(\frac{\sin12}{\sin30}+\frac{\sin54}{\sin84}\right) $

$ \frac{DC}{AC} = \frac {1}{\left(\frac{\sin12}{\sin138}+\frac{\sin18}{\sin12}\right)\left(\frac{\sin12}{\sin30}+\frac{\sin54}{\sin84}\right)} $

e qui dovrebbe semplificarsi qualcosa per poi arrivare al risultato...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Per l'8 veniva veloce così:

$ \displaystyle \frac{AB + DC}{AC} = \frac{b\frac{\sin30}{\sin 66} + b\frac{\sin 84\sin12}{\sin66 \sin30}}{b} = \frac{\sin30 + 2\sin84\sin12}{\sin66} = k $

$ \displaystyle \sin30 + 2\sin84\sin12 = k\sin66 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $$ \displaystyle \cos72 + \cos84 + \sin30 = k\sin66 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $$ \displaystyle \sin30 + \sin18 = (k-1)\sin66 + \sin66 - \sin6 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $

$ \displaystyle \Longleftrightarrow \ \ \sin30 + \sin18 = (k-1)\sin66 + 2\sin30\cos36 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $$ \displaystyle \sin30 + \sin18 - \cos36 = (k-1)\sin66 \ \ \Longleftrightarrow $

$ \displaystyle \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{4} - \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = (k-1)\sin66 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $$ \displaystyle k-1 = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ k=1 $

[Alex90]

$ \displaystyle \sin30 + 2\sin84\sin12 = k\sin66 \ \ \Longleftrightarrow \ \ $$ \displaystyle \cos72 + \cos84 + \sin30 = k\sin66 \ \ $

mmm...perchè questo passaggio? sembra werner ma non è...

[Simo_the_wolf]

$ \cos (90 -x ) = - \cos (90+x) $ e quindi $ \cos(96) = - \cos( 84) $