Moto in caduta libera non semplicissimo
Moto in caduta libera non semplicissimo
Questo è il problema sul moto accelerato più carino che abbia trovato:
Una sfera d' acciaio, lasciata cadere dal tetto di un edificio, passa davanti ad una finestra, impiegando 0,125 secondi a percorrerne l' altezza, che è di 1,20m. Quindi cade sul marciapiede e rimbalza "perfettamente" fino a passare davanti alla finestra, impiegando ancora, dal bordo inferiore al superiore, 0,125 secondi (il volo verso l' alto è l' opposto di una caduta.) Il tempo totale passato al disotto del davanzale della finestra è 2,00 s. Quanto è alto l'edificio?
quelli più bravi magari lascino solo un hint in bianco cosi' ha la precedenza chi ha meno esperienza
Una sfera d' acciaio, lasciata cadere dal tetto di un edificio, passa davanti ad una finestra, impiegando 0,125 secondi a percorrerne l' altezza, che è di 1,20m. Quindi cade sul marciapiede e rimbalza "perfettamente" fino a passare davanti alla finestra, impiegando ancora, dal bordo inferiore al superiore, 0,125 secondi (il volo verso l' alto è l' opposto di una caduta.) Il tempo totale passato al disotto del davanzale della finestra è 2,00 s. Quanto è alto l'edificio?
quelli più bravi magari lascino solo un hint in bianco cosi' ha la precedenza chi ha meno esperienza
Rimbalza perfettamente lo intendo come non ci sono perdite di energia.
Premetto che non ho fatto i calcoli (che odio ), ho solo impostato il problema.
Ad un altezza $ h=h_0+h_1+h_2 $ la sfera avrà un energia potenziale $ U_0=mgh $.
Quando arriva a terra, proprio perchè non si disperde energia avrà energia cinetica $ E_c=\displaystyle \frac{1}{2}m{v_{3}}^2 =U_0 $.
Allora $ v_3=\sqrt{2gh} \ (1) $.
Nel punto in cui si ha velocità $ v_1 $ vale la seguente relazione:
$ \displaystyle mg(h_1+h_2)+\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_3^2 $
Quindi $ v_1=\sqrt{2gh-2g(h_1+h_2)} \ (2) $
Allo stesso modo si ricava: $ v_2=\sqrt{2gh-2gh_2} \ (3) $
Ora $ \displaystyle g=\frac{v_1-v_2}{t_1}=\frac{\sqrt{2gh-2gh_1-2gh_2}-\sqrt{2gh-2gh_2}}{t_1} \ (4) $
e $ \displaystyle g=\frac{v_3-v_2}{t_2}=\frac{\sqrt{2gh-2gh_2}-\sqrt{2gh}}{t_2} \ (5) $.
A questo punto si possono mettere a sistema la (5) e la (6) con le due incognite $ h, h_2 $ . . verrano eq. di secondo grado ciascuna con una sol positiva, l'altra negativa.
Quella negativa si scarta, e si trova $ h $.
Premetto che non ho fatto i calcoli (che odio ), ho solo impostato il problema.
Ad un altezza $ h=h_0+h_1+h_2 $ la sfera avrà un energia potenziale $ U_0=mgh $.
Quando arriva a terra, proprio perchè non si disperde energia avrà energia cinetica $ E_c=\displaystyle \frac{1}{2}m{v_{3}}^2 =U_0 $.
Allora $ v_3=\sqrt{2gh} \ (1) $.
Nel punto in cui si ha velocità $ v_1 $ vale la seguente relazione:
$ \displaystyle mg(h_1+h_2)+\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_3^2 $
Quindi $ v_1=\sqrt{2gh-2g(h_1+h_2)} \ (2) $
Allo stesso modo si ricava: $ v_2=\sqrt{2gh-2gh_2} \ (3) $
Ora $ \displaystyle g=\frac{v_1-v_2}{t_1}=\frac{\sqrt{2gh-2gh_1-2gh_2}-\sqrt{2gh-2gh_2}}{t_1} \ (4) $
e $ \displaystyle g=\frac{v_3-v_2}{t_2}=\frac{\sqrt{2gh-2gh_2}-\sqrt{2gh}}{t_2} \ (5) $.
A questo punto si possono mettere a sistema la (5) e la (6) con le due incognite $ h, h_2 $ . . verrano eq. di secondo grado ciascuna con una sol positiva, l'altra negativa.
Quella negativa si scarta, e si trova $ h $.
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un po' meno radiciosa
$ h_f = v_0t_1 + 1/2gt_1^2 $
$ => v_0 = h_f/t_1 - 1/2gt_1 $
$ h_f = v_1t_1 - 1/2gt_1^2 $
$ => v_1 = h_f/t_1 + 1/2gt_1 $
$ v_0 = gt_0 => t_0 = v_0/g $
$ v_1 = gt_tot - gt_2 => t_2 = v_1/g - Ttot $
$ h_0 = 1/2gt_0^2 $
$ h_2 = v_ft_2 - 1/2gt_2^2 $
$ h = h_0 + h_f + h_2 $
spero di non aver commesso errori!!
$ h_f = v_0t_1 + 1/2gt_1^2 $
$ => v_0 = h_f/t_1 - 1/2gt_1 $
$ h_f = v_1t_1 - 1/2gt_1^2 $
$ => v_1 = h_f/t_1 + 1/2gt_1 $
$ v_0 = gt_0 => t_0 = v_0/g $
$ v_1 = gt_tot - gt_2 => t_2 = v_1/g - Ttot $
$ h_0 = 1/2gt_0^2 $
$ h_2 = v_ft_2 - 1/2gt_2^2 $
$ h = h_0 + h_f + h_2 $
spero di non aver commesso errori!!
paolo
Uhm ...non so cosa sia l' energia potenziale (prego non ridete), vado a vedere sul libro di teoria e poi uso il tuo problema risolto come modello! (spero sia giusto); ma dovè l' equazione numero 6?A questo punto si possono mettere a sistema la (5) e la (6)
@ pa:$ h_f $ cosa è? poi dovrei riuscire a capire il tuo ragionamento.
grazie delle risposte a entrambi!
$ h_f $ e' l'altezza della finestra
ora che lo riguardo ho commesso alcune scemenze (perche' ho letto il testo troppo velocemente!! )
$ t_2 $ non e' un incognita mentre lo e' Ttot (ho fatto il contrario...)
e poi manca anche
$ v_f = gTtot $
il ragionamento e' questo: la palla passa davanti alla finestra con un moto uniformemente accelerato la cui unica incognita e' la velocita' di ingresso, la si ricava e da questa si trova il tempo impiegato dalla palla ad arrivare al bordo superiore della finestra. da questi dati ci si ricavano le tre singole altezze che compongono l'altezza totale.
spero di non aver fatto (altri) errori grossolani!!
ora che lo riguardo ho commesso alcune scemenze (perche' ho letto il testo troppo velocemente!! )
$ t_2 $ non e' un incognita mentre lo e' Ttot (ho fatto il contrario...)
e poi manca anche
$ v_f = gTtot $
il ragionamento e' questo: la palla passa davanti alla finestra con un moto uniformemente accelerato la cui unica incognita e' la velocita' di ingresso, la si ricava e da questa si trova il tempo impiegato dalla palla ad arrivare al bordo superiore della finestra. da questi dati ci si ricavano le tre singole altezze che compongono l'altezza totale.
spero di non aver fatto (altri) errori grossolani!!
paolo
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- Iscritto il: 23 nov 2007, 15:04
L'energia potenziale è per definizione l'energia che un corpo ha in virtù della sua posizione in un campo di forze. In questo caso il campo di forze è quello gravitazionale terrestre, e l'energia potenziale U di un oggetto in questo campo è espressa come mgh.Gufus ha scritto: Uhm ...non so cosa sia l' energia potenziale (prego non ridete)
m sta per massa, g accelerazione di gravità, h posizione.
Inoltre se sai cosa sono le derivate, la funzione della forza applicata ad un corpo rispetto al tempo è la derivata negativa della funzione dell'energia potenziale del corpo rispetto al tempo.
Ora, ci sono 2 modi di risolvere questo problema: uno è quello segnalato da EUCLA, molto più veloce dell'altro ma per usare quello hai necessità di sapere cos'è l'energia cinetica e la potenziale, quando sono conservate e quando non lo sono e cosa sono le collisioni elastiche.
Un secondo metodo, molto lungo e noioso ma giusto lo stesso, è quello di usare le 3 magiche equazioni del moto costantemente accellerato e via via risolvere per le informazioni che non sai.
Vorrei postare il procedimento ma non so usare il LaTex e farei un macello se lo facessi...
In pratica spezzi il moto in due parti, parte uno la discesa, parte 2 la salita. Prima cosa risolvi per la velocità con cui entra nel tratto della finestra in discesa. Avendo questa informazione risovi per la velocità con cui esce dalla finestra in discesa. Ora chiami quest'ultima velocità Vo (V sub 0) (Qualcuno mi insegni il LaTex!!!!).
Poi poni S l'ultimo tratto, il più basso, dell'edificio. S=VoT1+1/2g(T1)^2. Ma S è anche percorso in salita, con S=VfT2+1/2(T2)^2.
Ho chiamato Vf la velocità con cui la palla si schianta al suolo. Ora hai quelle due equazioni che entrambe eguagliano S, quindi, per la proprietà transitiva delle uguaglianze, VoT1+1/2g(T1)^2=VfT2+1/2(T2)^2. (1)
Chiamiamo quella equazione 1.
Ora abbiamo un equazione in 3 variabili: T1,T2 e Vf. Ci servono altre 2 equazioni.
Una è la banale T1+T2=2, dettata dal testo. (2)
L'ultima, in cui compaia almeno uno dei tempi e Vf è Vf=V0+gT1 (3)
Ora hai le tre equazioni 1,2,3, le metti a sistema e risolvi. Una bella matrice tanti complimenti al genio di Cramer ed è fatta.
Ora che hai Vf che era tutto ciò che cercavi, consideri il moto 2, di salita. il tuo Vf sarà la velocità iniziale del nuovo moto. Sapendo che nella discesa la palla è partita da ferma al piano massimo, arriverà a Vo al piano massimo, nel moto di salita. Per dimostrare ciò devi per forza avere un minimo di nozione della conservazione dell'energia ma anche se non lo sai è abbastanza logico, credo, che debba ritornare a velocità 0 al posto di partenza.
Allora ora chiami il tuo Vf che hai trovato prima Vo.
E applichi una delle equazioni del moto:
V^2=Vo^2+2a(Delta x)
ovvero nel tuo caso
0=Vo^2+2g(S)
Risolvi per S e hai l'altezza del palazzo.
Sono sicuro al 100% del procedimento ma voglia di fare i calcoli ora 0.
In ogni caso il procedimento di EUCLA è mille volte più veloce, pulito ed elegante. Fossi in te imparerei la conservazione dell'energia!! =)
PER CORTESIA QUALCUNO SI PRENDA IL MIO CONTATTO MSN E MI INSEGNI AD USARE IL LATEX CHE HO BISOGNO DI IMPARARE A POSTARE FORMULE. fare un esercizio di fisica senza scrivere un casino di formule è impossibile, e questo post ne è la conferma!!!
Fedecart
ascolta non c'è modo migliore di imparare che esercitarsi è molto semplice alla fine scrivere col latex, io per adesso non so fare alcune cose ma piano piano impari, fai così clicca su tex metti la formula e poi riclicca su tex, fai dei tenativi e vedrai la facilità
FANTASCIENZA = SCIENZA + TEMPO
[url=http://imageshack.us][img]http://img267.imageshack.us/img267/580/86be03ac1eezv6.png[/img][/url]
[url=http://imageshack.us][img]http://img267.imageshack.us/img267/580/86be03ac1eezv6.png[/img][/url]
- Ponnamperuma
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- Iscritto il: 10 lug 2006, 11:47
- Località: Torino
Fatevi un giro nella sezione LaTeX (esiste per un motivo!), c'è un thread in cima alla pagina di "Esperimenti"... Lì sono scritte decine di cose, magari senza un senso, ma abbastanza varie per poter fare uso di una discreta quantità di comandi. Passate col mouse sopra alle formule e memorizzate il codice che si visualizza magicamente!...
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
MIND torna!! :D
Per questo potete usare semplicemente
ottenendo $ T_0, T_{cosmicomiche} $
Non dimenticate il comando \displaystyle mi raccomando
Ciao
Ob
Codice: Seleziona tutto
T_0, T_{cosmicomiche}
Non dimenticate il comando \displaystyle mi raccomando
Ciao
Ob
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös