x^2+7=2^n
- FrancescoVeneziano
- Site Admin
- Messaggi: 606
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Genova
- Contatta:
x^2+7=2^n
Determinare le soluzioni (x,n) dell'equazione diofantea
$ x^2+7=2^n $
con x ed n interi positivi.
La metto qui perché la soluzione che conosco usa un po' di Teoria, ma non escludo che ne esistano di elementari.
$ x^2+7=2^n $
con x ed n interi positivi.
La metto qui perché la soluzione che conosco usa un po' di Teoria, ma non escludo che ne esistano di elementari.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Proviamo un po'...sperando di non scrivere cavolate
$ x^2 + 7 =2^n $ con $ x,n \in \mathbb{N} $
Diciamo subito che $ n\ge3 $ altrimenti $ RHS\;<LHS $
$ x^2 + 7 =2^n $
$ x^2 + 7 -8=2^n-8 $
$ x^2 -1=2^n-2^3 $
$ (x+1)(x-1)=2^3(2^{n-3}-1) $
ed ora un po' di casi (escludiamo quelli per cui $ x+1=1 $ o $ x-1=1 $ dal momento che non portano a soluzioni):
$ 1\blacktriangleright $
$ x+1=2^3 $
$ x-1=2^{n-3}-1 $
che non porta a nessuna soluzione in $ \mathbb{N} $
$ 2\blacktriangleright $
$ x+1=2^2 $
$ x-1=2(2^{n-3}-1) $
che porta alla soluzione $ n=4 $ $ x=3 $
$ 3\blacktriangleright $
$ x+1=2 $
$ x-1=2^2(2^{n-3}-1) $
che porta alla soluzione $ n=3 $ $ x=1 $
$ 4\blacktriangleright $
$ x+1=2^{n-3}-1 $
$ x-1=2^3 $
che non porta a nessuna soluzione in $ \mathbb{N} $
$ 5\blacktriangleright $
$ x+1=2(2^{n-3}-1) $
$ x-1=2^2 $
che porta alla soluzione $ n=5 $ $ x=5 $
$ 6\blacktriangleright $
$ x+1=2^2(2^{n-3}-1) $
$ x-1=2 $
che porta alla soluzione $ n=4 $ $ x=3 $ già ottenuta in precedenza
In definitiva dunque le soluzioni dell'equazione sono $ (1,3) $, $ (3,4) $ e $ (5,5) $
$ x^2 + 7 =2^n $ con $ x,n \in \mathbb{N} $
Diciamo subito che $ n\ge3 $ altrimenti $ RHS\;<LHS $
$ x^2 + 7 =2^n $
$ x^2 + 7 -8=2^n-8 $
$ x^2 -1=2^n-2^3 $
$ (x+1)(x-1)=2^3(2^{n-3}-1) $
ed ora un po' di casi (escludiamo quelli per cui $ x+1=1 $ o $ x-1=1 $ dal momento che non portano a soluzioni):
$ 1\blacktriangleright $
$ x+1=2^3 $
$ x-1=2^{n-3}-1 $
che non porta a nessuna soluzione in $ \mathbb{N} $
$ 2\blacktriangleright $
$ x+1=2^2 $
$ x-1=2(2^{n-3}-1) $
che porta alla soluzione $ n=4 $ $ x=3 $
$ 3\blacktriangleright $
$ x+1=2 $
$ x-1=2^2(2^{n-3}-1) $
che porta alla soluzione $ n=3 $ $ x=1 $
$ 4\blacktriangleright $
$ x+1=2^{n-3}-1 $
$ x-1=2^3 $
che non porta a nessuna soluzione in $ \mathbb{N} $
$ 5\blacktriangleright $
$ x+1=2(2^{n-3}-1) $
$ x-1=2^2 $
che porta alla soluzione $ n=5 $ $ x=5 $
$ 6\blacktriangleright $
$ x+1=2^2(2^{n-3}-1) $
$ x-1=2 $
che porta alla soluzione $ n=4 $ $ x=3 $ già ottenuta in precedenza
In definitiva dunque le soluzioni dell'equazione sono $ (1,3) $, $ (3,4) $ e $ (5,5) $
anche io l'ho risolto in parte, ma come alex90 perdo delle soluzioni....mitchan88 ha scritto:E (11,7)?
C'è un bug bello grosso nella tua dimostrazione
So che x è dispari, quindi $ x=2y+1 $
Svolgo il quadrato e ottengo $ 4y^2+4y+8=2^n $
divido per 4 e arrivo a $ y(y+1)=2^{n-2}-2=2(2^{n-3}-1) $
quindi analizzo:
per $ y=1 $ e $ y+1=2(2^{n-3}-1) $ ho $ 2^{n-3}-1=1 $ quindi $ n=4 $ => $ (3;4) $
per $ y+1=1 $ e $ y=2(2^{n-3}-1) $ ho $ 2^{n-3}-1=0 $, quindi $ n=3 $ =>$ (1;3) $
per $ y=2 $ e $ y+1=2^{n-3}-1 $ ho $ 2^{n-3}-1=3 $, quindi $ n=5 $ => $ (5;5) $
per $ y+1=2 $ e $ y=2^{n-3}-1 $ ho nuovamente $ y=1 $ che era il primo caso.
il dubbio che ho è però se il ragionamento sopra si possa fare, visto che $ y(y+1)=2(2^{n-3}-1) $ non ha mcm=1, essendo uno tra $ y $ è $ y+1 $ sicuramente pari...
Nell'ultimo compito in classe di mate c'era il problema:
sapendo che $ ~ \tan \alpha = \frac{\sqrt5}2 $, trovare seno e coseno di $ ~ \alpha $ ($ ~ 0 \le \alpha \le \frac {\pi}2 $)
Qualcuno l'ha risolto così:
siccome $ ~ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, allora $ ~ \sin \alpha = \sqrt 5 $ e $ ~ \cos \alpha = 2 $.
Hai fatto più o meno lo stesso errore
sapendo che $ ~ \tan \alpha = \frac{\sqrt5}2 $, trovare seno e coseno di $ ~ \alpha $ ($ ~ 0 \le \alpha \le \frac {\pi}2 $)
Qualcuno l'ha risolto così:
siccome $ ~ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, allora $ ~ \sin \alpha = \sqrt 5 $ e $ ~ \cos \alpha = 2 $.
Hai fatto più o meno lo stesso errore
Hemjulio14 ha scritto:Guarda che se x è dispari, cosa che si vede abbastanza dalla prima equazione, $ x^2+3 $ è sempre divisibile per 4, senza stare a scomodare $ 2^n-4 $... non aiuta moltissimo...
non badare a quelle mie farneticazioni serali appena spento il pc mi sono accorto che avevo scritto una cosa ovvia
Verissimo!EUCLA ha scritto:Sia $ q $ un primo. Se $ (a-1)(a+1)=2^{\alpha}q $, essendo $ (a-1,a+1)= 2 $ puoi fare questa divisione di casi così netta tra i fattori $ 2, q $.
Se invece $ q $ non è primo, questo discorso non lo puoi far così semplicemente...entrano in gioco un bel pò di fattori in più..
Però se $ (x-1)(x+1)=2^\alpha k $ con $ 2\nmid k $ allora sai sicuramente che
$ \left\{\begin{array}{l}x-1=2 k_1\\x+1=2^{\alpha-1}k_2\end{array}\right. $
oppure
$ \left\{\begin{array}{l}x-1=2^{\alpha-1}k'_1\\x+1=2k'_2\end{array}\right. $
dove $ 2\nmid k_1,k_2,k'_1,k'_2 $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
non puoi. $ $x^2+x+1$ $ non e' scomponibile ma se metti $ ~x=4 $ ottieni 21 che e' scomponibile.
Mi sembra che si puo' procedere a iterazione, per finite sol
Trovi una prima sol minima (1,3) e la usi per scomporre
$ $x^2 -1^2=2^n-2^3$ $
da cui ottieni (3,4) e (5,5) e le usi per trovarne altre
ma se le sol sono infinite sono cavoli
Mi sembra che si puo' procedere a iterazione, per finite sol
Trovi una prima sol minima (1,3) e la usi per scomporre
$ $x^2 -1^2=2^n-2^3$ $
da cui ottieni (3,4) e (5,5) e le usi per trovarne altre
ma se le sol sono infinite sono cavoli
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php