da febbraio '98

[bestiedda]

dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $ e $ H $ il piede dell'altezza relativa ad $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

io l'ho risolto in analitica (sprecando mezzo block notes di calcoli)

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

Probabilmente ti sei dimenticato di definire H come il pede dell'altezza da C

p.s. la perpendicolare da C incontra AB in D, R=a/(2 sin A)=a/(2 cos B) = DB/2 = HM

[bestiedda]

dato il triangolo ABC con $ C\widehat{A}B-A\widehat{B}C=90° $, detti M il punto medio di $ AB $, dimostrare che il raggio della circonferenza circoscritta ad $ ABC $ è uguale ad $ HM $

Probabilmente ti sei dimenticato di definire H come il pede dell'altezza da C

scusa correggo

[mikitopo01]

Dunque, fammi provare a dare la soluzione (anche se ovviamente sarà sbagliata).
Traccio il segmento passante per A e perpendicolare ad AB e che incontra la circonferenza circoscritta ad ABC in D. DAC = CAB - 90° = ABC
CDA = ABC perchè insistono su AC => CDA = CAD => CA = CD
La perpendicolare ad AD passante per O (centro circonferenza circoscritta) deve essere asse di AD (ADC è inscritto), quindi passa per C dato che ADC è isoscele.
In particolare COM = 90° perchè AD // MO, dato che AD e MO sono perpendicolari ad AB.
A questo punto si può dimostrare abbastanza agevolmente che OMHC è un rettangolo, perchè:
MHC = 90° per ipotesi
OMH = 90° perchè OM è asse di AB
COM = 90° per dimostrazioni precedenti
HCO = 90° per somma angoli interni
OC = HM perchè lati opposti di un triangolo.
Ciao ciao,
Mike

[bestiedda]

la mia soluzione:

per comodità poniamo M coincidente con l'origine degli assi cartesiani e i punti A di coordinate $ (-k,0) $ e B di coordinate $ (k,0) $. Il punto H giace sull'asse x ed è uguale al valore assoluto dell'ascissa di C. Detto I il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, dobbiamo dimostrare che $ |x_c|=IB $. La retta passante per B e C è $ y=m(x-k) $e, poichè la retta passante per A e C è perpendicolare alla simmetrica di quella passante per B e C, abbiamo che il coefficiente angolare $ m' $della seconda retta è uguale al reciproco di $ m $. La retta passante per A e C ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{m}(x+k) $. Mettendole a sistema si ottengono le coordinate di C $ \displaystyle (\frac{k(m^2+1)}{m^2-1},\frac{2mk}{m^2-1}) $. I giace sull'asse y che è asse del segmento AB, e la sua ordinata è l'ordinata all'origine della retta su cui giace l'asse del segmento BC. Il punto medio X del segmento BC ha coordinate $ \displaystyle (\frac{km^2}{m^2-1},\frac{km}{m^2-1}) $ e l'asse del segmento ha coefficiente angolare uguale all'antireciproco di m perchè perpendicolare alla retta BC. L'ordinata all'origine della retta trovata è $ \displaystyle \frac{2km}{m^2-1} $ ed è uguale all'ordinata di I. Calcolando la distanza tra I e B si ottiene $ \displaystyle \frac{k(m^2+1)}{m^2-1} $ che è effettivamente uguale al valore assoluto dell'ascissa di c

[matteo16]

la mia soluzione:

per comodità poniamo M coincidente con l'origine degli assi cartesiani e i punti A di coordinate $ (-k,0) $ e B di coordinate $ (k,0) $. Il punto H giace sull'asse x ed è uguale al valore assoluto dell'ascissa di C. Detto I il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, dobbiamo dimostrare che $ |x_c|=IB $. La retta passante per B e C è $ y=m(x-k) $e, poichè la retta passante per A e C è perpendicolare alla simmetrica di quella passante per B e C, abbiamo che il coefficiente angolare $ m' $della seconda retta è uguale al reciproco di $ m $. La retta passante per A e C ha equazione $ \displaystyle y=\frac{1}{m}(x+k) $. Mettendole a sistema si ottengono le coordinate di C $ \displaystyle (\frac{k(m^2+1)}{m^2-1},\frac{2mk}{m^2-1}) $. I giace sull'asse y che è asse del segmento AB, e la sua ordinata è l'ordinata all'origine della retta su cui giace l'asse del segmento BC. Il punto medio X del segmento BC ha coordinate $ \displaystyle (\frac{km^2}{m^2-1},\frac{km}{m^2-1}) $ e l'asse del segmento ha coefficiente angolare uguale all'antireciproco di m perchè perpendicolare alla retta BC. L'ordinata all'origine della retta trovata è $ \displaystyle \frac{2km}{m^2-1} $ ed è uguale all'ordinata di I. Calcolando la distanza tra I e B si ottiene $ \displaystyle \frac{k(m^2+1)}{m^2-1} $ che è effettivamente uguale al valore assoluto dell'ascissa di c

una domanda in generale che mi viene guardando il problema:
ma i teoremi di geometria si possono eventualmente risolvere anche con algebra lineare o no?
(questo non l'ho provato ancora a fare, quindi non so se si possa usare qui)

[bestiedda]

non lo so ma spero proprio di si dato che in euclidea sono negato

[EUCLA]

Ma si, li puoi dimostrare con qualsiasi mezzo che vuoi (euclidea, analitica, vettori..). Oltretutto l'analitica ha il vantaggio che non può non tornare

[bestiedda]

Oltretutto l'analitica ha il vantaggio che non può non tornare

ha però il limite dei (probabilissimi) errori di calcolo qua e la che ti costringono a rifare tutto da capo

[Oblomov]

ha però il limite dei (probabilissimi) errori di calcolo qua e la che ti costringono a rifare tutto d'accapo

E (per problemi molto complessi) delle equazioni di grado superiore al secondo che in generale non si risolvono semplicemente.

P.S. Occhio!