Guscio sferico e puleggia, a che velocità mi cadi giù?

[EUCLA]

Un guscio sferico uniforme di massa $ M $ e raggio $ R $ ruota intorno a un asse verticale su cuscinetti privi di attrito. Una corda priva di massa avvolta intorno all'equatore della sfera, passando senza slittamenti sopra una puleggia, priva di attrito, avente momento di inerzia $ I $ e raggio $ r $ tiene appeso un piccolo oggetto di massa $ m $. La corda non slitta e il perno è privo di attrito. Quale sarà la velocità dell'oggetto dopo che sarà disceso per una distanza $ h $ dalla posizione di riposo.

Personalmente ho avuto difficoltà a fare l'esercizio..

[mandric]

penso che si debba fare così. La variazione di energia potenziale è data dalla sola variazione di energia potenziale della massa m che risulta essre in valore assoluto$ m*g*h $. Poichè il sistema è isolato l'energia totale si conserva, dunque la variazione di energia potenziale deve essere opposta alla variazione di enregia cinetica che è data dalla sommadelle variazioni delle energie cinetiche di m e di M: rispettivamente $ \frac{1}{2}*m*v^2 $ e $ \frac{1}{2}*I*w^2 $ dove $ w $ è la velocità angolare. quindi bisogna eguagliare i valori assoluti. Bisogna aggiungerci il vincolo che la corda sia inestensibile, dunque variazione di h= variazione corda di M e derivando velocità di M uguale a velocità di m dove la prima velocità è data da $ w*r $ mentre la seconda è la nostra incognita che si trova ricavando $ w $ dalla seconda equazione e sostituendola nella prima equazione.

[Rigel]

la variazione di energia potenziale deve essere opposta alla variazione di enregia cinetica che è data dalla sommadelle variazioni delle energie cinetiche di m e di M

Ciò che dici è giusto, però dimentichi il fatto che anche la puleggia ruota e acquista enercia cinetica di rotazione. Per la conservazione dell'energia
$ $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2$ $
Essendo la corda inestensibile tutti i suoi punti hanno la stessa velocità e quindi la velocità del blocco è uguale alle velocità tangenziali della puleggia e della sfera: $ $\omega_1=\frac{v}{R}$ $ e $ $\omega_2=\frac{v}{r}$ $. Sostituendo:
$ $2mgh=mv^2+\frac{2}{5}MR^2\frac{v^2}{R^2}+I\frac{v^2}{r^2}$ $
cioè
$ $v=\sqrt{\frac{2mgh}{m+\frac{2}{5}M+\frac{I}{r^2}}}$ $

[EUCLA]

Grazie Rigel, il ragionamento mi torna

l'avevo fatta molto più complicata tralasciando roba

[AndBand89]

Scusate se ripeso il topic, ma proprio adesso sto facendo questo problema sull'Halliday...sono arrivato allo stesso risulatato, poi quando ho inserito i valori viene un risultato diverso dall'Halliday...anche a voi?

[EUCLA]

Sinceramente non avevo verificato con i dati, però il ragionamento mi tornava

[darkcrystal]

Il momento d'inerzia del guscio sferico è $ \displaystyle \frac{2MR^2}{3} $, può darsi sia quello il problema...

[AndBand89]

Quello è il momento del guscio sferico cavo se non sbaglio...

[Rigel]

In effetti se per "guscio sferico uniforme", l'Halliday intende una sfera cava, bisogna prendere in considerazione il momento d'inerzia indicato da darkcrystal

[AndBand89]

Maledetto Halliday