SNS 2005/2006, non difficile.

[Goldrake]

Di livello inferiore agli standard SNS:

Sia
$ $f(x)=x^2+ax+b\quad a,b \in\mathbb{R}$ $

1) Provare che esiste
$ $x_{0} \in [-1,1]\quad \text{t.c.}\quad |f(x_{0})|\ge \frac{1}{2}$ $

2) Provare che se
$ $|f(x_{0})|\le\frac{1}{2} \quad \forall{x}\in [-1,1]$ $
allora si ha
$ $a=0 \quad\quad b=-\frac{1}{2}$ $

Buono studio!

[l'Apprendista_Stregone]

Spero vada bene...
Punto 1)
Per assurdo
Se non esistesse $ x_{0} $che soddisfa la tesi allora $ |f(x)|<\frac{1}{2} $ per ogni x dell'intervallo.
Se ciò fosse verificato allora $ \frac {1}{2} > 1+a+b>- \frac{1}{2} $ e $ \frac {1}{2} > 1-a+b>- \frac{1}{2} $ sommando le due diseguaglianze si ottiene che $ -\frac {3}{2}<b<-\frac{1}{2} $. Ma allora $ |f(0)|\ge\frac{1}{2} $. Assurdo.

Punto 2)
Innanzitutto direi che hai saltato un valore assoluto confrontando con la traccia della Normale


Perchè siano verificate sia le ipotesi b deve necessariamente essere uguale a -1/2 (imponendo che$ -\frac{1}{2}\le|f(1)| \le \frac{1}{2} $ e che $ -\frac{1}{2}\le|f(-1)| \le \frac{1}{2} $si ricava che $ -\frac{1}{2} \ge b \ge -\frac {3}{2} $ e dato che
$ |f(0)| \le \frac{1}{2} $ l'unico valore che soddisfa le ipotesi è $ b=-\frac{1}{2} $).
Inoltre se$ b=-\frac{1}{2} $vorrà dire che in x=0 la funzione avrà un punto stazionario. Facendo la derivata e ponendola uguale a 0 in x=0 si ottiene a=0 n.e.d.

Spero di non aver fatto errori e soprattutto di non aver dato troppo per scontato...

Ciao

[Goldrake]

Ciao, un paio di pignolerie

si ottiene che $ -\frac {3}{2}>b>-\frac{1}{2} $.

si ricava che $ -\frac{1}{2} \le b \le -\frac {3}{2} $

Mi sa che ti tocca cambiare i versi della disequazione...

Passando alle cose serie, il primo punto direi che va bene. Ho delle riserve sul secondo.

e dato che
$ |f(0)| \ge \frac{1}{2} $

Ecco, chi ti dice che che proprio |f(0)| è maggiore o uguale a 1/2?
Tu nel punto precedente hai mostrato che esiste un x_0 in quell'intervallo tale che..., ma chi ti dice che il valore x_0 sia 0 ?

Poi non ho capito la questione del punto stazionario: da cosa deduci che
b=-1/2 implica p.to stazionario in 0 ?

Ciao, e ora metto il modulo mancante

[SkZ]

ha sbagliato di nuovo di mettere la diseguaglianza

posto che $ $-3/2\leq b \leq -1/2$ $, ergo b negativo
se diciamo che $ $|f(0)|=|b|=-b\geq 1/2$ $ non otteniamo nulla e soprattutto non essendo in accordo con le ipotesi, non ha fondamento
con $ $|f(0)|=|b|=-b\leq 1/2$ $ (in accordo con le ipotesi) abbiamo l'unico caso $ $b=-1/2$ $

Ragazzi, mi raccomando piu' precisione nella scrittura. La precisione in matematica e' sostanziale.

Bella l'idea del punto stazionario, pero' magari spiegala meglio.

[l'Apprendista_Stregone]

Scusate per gli errori banali... Devo ancora un po' impratichirmi col TeX (ed imparare a dare qualche occhiata di più a ciò che posto )

Per quanto riguarda il punto stazionario direi che:
$ $f(x)$ $ è ovviamente non costante nell'intervallo ed il suo valore assoluto deve essere minore o uguale a $ $\frac {1}{2}$ $.
Quindi se esiste un punto $ $x_{0}$ $ t.c. $ $|f(x_{0})|=\frac {1}{2}$ $ tutti i punti a destra e a sinistra di $ $x_{0}$ $ appartenenti ad un certo intervallo avranno ordinata minore in valore assoluto di $ $\frac {1}{2}$ $.
Ciò equivale a dire che $ $x_{0}$ $ è o punto di massimo o punto di minimo e quindi punto stazionario in quel dato intervallo (e nel nostro caso anche l'unico punto stazionario nel dominio della funzione e quindi anche nel nostro intervallo $ $[1,-1]$ $), dato che $ $|f(0)|=\frac {1}{2}$ $ ne ricaviamo che $ $x=0$ $ è punto stazionario.
Spero che ora sia chiaro

[SkZ]

In teoria dovresti anche aggiungere che f e' continua e derivabile (contro esempi sono $ $\textrm{sgn}^2{x}$ $ e $ $|x|$ $)

Non per fare i precisini, ma ritengo che e' meglio che ne approfittiate per iniziare ad abituarvi a essere precisi e dettagliati, dato che molti di voi poi faranno Matematica o fisica all'univ e i prof di Matematica adorano la precisione e i dettagli e chi corregge i vostri lavori alle Olimpiadi che fa di lavoro?
(ripeto: per aver scritto l'analisi di funzione con estrema precisione ho ottenuto 9.5 punti su 9 nel compito di anlisi 1)

[l'Apprendista_Stregone]

(contro esempi sono $ $\textrm{sgn}^2{x}$ $ e $ $|x|$ $)

Giusto per curiosità e totalmente fuori argomento...
$ $\textrm{sgn}^2 {x}$ $ sarebbe?

[Goldrake]

Ok, adesso mi torna. Grazie anche a SkZ per la precisazione.

Posto la mia risoluzione, fatemi sapere come vi pare.

1)
Devo provare che la funzione "esce" fuori dall'intervallo $ $[-1/2,+1/2]$ $.
Per fare questo, basta provare che due ordinate di due punti della funzione distano più di $ $1$ $ tra loro (1 è infatti la distanza delle rette che dovrebbero confinare la funzione, y=-1/2 e y=1/2).
Risulta
$ $|f(1)-f(0)|=|1+a|$ $ (1) ma anche
$ $|f(-1)-f(0)|=|1-a|$ $ (2)
Ora: si vede bene che se $ $a$ $ è positivo, si ha la tesi per la (1), se invece fosse negativo, si ha la tesi per la (2). Se invece è nullo, ho la tesi comunque, perché la disuguaglianza (la tesi) non è stretta.

2)
Appellandomi al primo punto, deduco immediatamente che
$ $a=0$ $
Se fosse diversamente avrei, come abbiamo già visto, che la funzione supera 1/2 in valore assoluto, contro l'ipotesi.
Ora la funzione è ridotta a
$ $f(x)=x^2+b$ $
Da qui in poi è algebra scolastica: imposto
$ $|x^2+b|\le\frac{1}{2}$ $ ovvero
$ $-\frac{1}{2}-b\le x^2 \le\frac{1}{2}-b$ $
ma siccome $ $x^2$ $ va da 0 a 1, allora la disuguaglianza vale sempre se

$ $\left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{2}-b\le0\\ \frac{1}{2}-b\ge 1\end{array}$ $
sistema che è soddisfatto solo se
$ $b=-\frac{1}{2}$ $

Ho tralasciato qualcosa, SkZ?

Ciao e grazie.

[jordan]

Esercizio gia postato molte volte..
a suo tempo comunque l'ho risolto in maniera molto piu veloce, chi vuole provare a rifare l'esercizio considerando che $ f(x) $ è una traslata di $ x^2 $?

[Aster]

Esercizio gia postato molte volte..
a suo tempo comunque l'ho risolto in maniera molto piu veloce, chi vuole provare a rifare l'esercizio considerando che $ f(x) $ è una traslata di $ x^2 $?

infatti , è vero, considerare la traslazione ti iuta a farti meglio un'idea della situazione; poi ho agito ponendo <1> 0 il massimo dei loro gradi.
(a) Mostrare che il polinomio f^3(x) - g^3(x) ha grado >o= 2d oppure è nullo. Mostrare
inoltre che la disuguaglianza non può essere in generale migliorata.
(b) Sia R(x) un polinomio di grado 3 a coefficienti reali tale che R( f (x)) =
R(g(x)). Mostrare che f (x) = g(x).

avevo iniziato considerando che il grado massimo è 3d (in linea generale); se però grado(f)=grado(g) e i coefficienti dei termini di grado max dei cubi delle funzioni sono uguali allora il polinomio f^3(x) - g^3(x) assume grado 3d-1.
se anche i coefficienti successivi sono uguali scende a 3d-2 poi 3d-3 etc.
perché però devo fermarmi a 3d-d (cioè 2d)??

GRAZIE IN ANTICIPO
E ANCHE SCUSE IN ANTICIPO