piccolo problema della normale

[Franz89]

un problema della normale che mi ha fatto scervellare senza risultati.. se qualcuno riesce a risolverlo avrà la mia riconoscenza

si determini un polinomio p(x) di grado pari tale che sia ovunque positivo e si abbia:
p(1) = a ; p(2) = b ; p(3) = c

mie considerazioni:
dovrebbe essere di quarto grado, perchè se fosse di grado 2 avrei Ax^2 + Bx + C, che non mi permette di soddisfare tutte e 4 le condizioni
deve essere irriducibile o si annullerebbe in qualche punto
dovrebbe essere nella forma x^4 + Ax^3 + Bx^2 +Cx + D, quindi D positivo

[Stradh]

Il polinomio che fa al caso tuo potrebbe essere determinato da:

Sistema determinato dal passaggio per i punti fissati (3 equazioni in 4 incognite) mediante la costante D, poi determinazione di D per far sì che il minimo del polinomio sia maggiore di zero.

[oli89]

sfogliando le schede olimpiche, alla scheda A05 n.7, il testo afferma:

Assegnate n+1 coppie (2+1 nel nostro caso)......esiste un'unico polinomio p(x) di grado <=n (2 nel nostro caso) tale che p(1)=a, p(2)=b etc..


Ebbene, applicando tale enunciato non si trova nulla...non capisco il perchè!
Qualcuno può illuminare la questione? grazie

[Haile]

EDIT:

cancellato.

qui prima c'era un metodo per interpolare... che non serve per questo problema

[fph]

sfogliando le schede olimpiche, alla scheda A05 n.7, il testo afferma:

Assegnate n+1 coppie (2+1 nel nostro caso)......esiste un'unico polinomio p(x) di grado <=n (2 nel nostro caso) tale che p(1)=a, p(2)=b etc..

Ebbene, applicando tale enunciato non si trova nulla...non capisco il perchè!
Qualcuno può illuminare la questione? grazie

Cosa intendi per "non si trova nulla"?
Come avete già osservato, le candidate soluzioni sono due:
1) il polinomio di secondo grado (l'*unico*) che passa per i tre punti dati -- per alcuni valori di a,b,c (quali?) capita che questo sia sempre positivo, per altri no
2) altrimenti, se (1) non funziona, un polinomio di quarto grado che passi per i tre punti dati E sia sempre positivo. Questo come si fa a trovarlo? Hint: cosa è sempre positivo o nullo? I quadrati...
3) una volta che avete finito, controllate che i coefficienti di testa dei polinomi che avete trovato siano diversi da zero -- altrimenti non sono più di grado pari!

[oli89]

con "non si trova nulla" intendevo che i coefficienti vengono tutti e tre zero! (scusate la poca chiarezza), quindi la strada da seguire è chiaramente un'altra...

[Franz89]

Cosa intendi per "non si trova nulla"?
Come avete già osservato, le candidate soluzioni sono due:
1) il polinomio di secondo grado (l'*unico*) che passa per i tre punti dati -- per alcuni valori di a,b,c (quali?) capita che questo sia sempre positivo, per altri no
2) altrimenti, se (1) non funziona, un polinomio di quarto grado che passi per i tre punti dati E sia sempre positivo. Questo come si fa a trovarlo? Hint: cosa è sempre positivo o nullo? I quadrati...
3) una volta che avete finito, controllate che i coefficienti di testa dei polinomi che avete trovato siano diversi da zero -- altrimenti non sono più di grado pari!

in effetti ci ho pensato un po'...
concordo col tuo punto 2)
Infatti se p(x) è un polinomio di grado 4 sempre positivo ( e si interpreta positivo come >= 0) si ha:
- non è scomponibile
- è scomponibile in un monomio per un polinomio di terzo grado (x+A)(x^3 + Bx^2 + Cx + D), ma allora dev'essere per forza anche (x+A)^2 * F(x), con F(x) sempre positivo e di grado 2. F(x) a sua volta o ha il delta minore di 0 o è a sua volta un quadrato
- è scomponibile in due polinomi di secondo grado che hanno entrambi il delta minore di 0 o sono entrambi quadrati
Propongo di prendere il caso in cui p(x) sia il prodotto di due quadrati, cioè

p(x) = A*(x+B)^2*(x+C)^2

evidentemente, per A>0, p(x)>=0 per ogni x.
ora basta porre p(1)=a, p(2)=b e p(3)=c, a,b,c positivi
poichè si ha un sistema di tre equazioni a tre incognite, il sistema dovrebbe essere risolvibile.

[fph]

Occhio che "positive means positive": il tuo polinomio può annullarsi, mentre dovrebbe essere sempre >0.

[elianto84]

Curiosità: (a,b,c) e/o i coefficienti del nostro fantomatico polinomio debbono essere razionali?

[Franz89]

Curiosità: (a,b,c) e/o i coefficienti del nostro fantomatico polinomio debbono essere razionali?

no

[gianmaria]

Ma perché non seguite il suggerimento di fph? Ci sono almeno due soluzioni facilissime e suscettibili di infinite varianti. Aggiungo che per trovare il polinomio q(x) di secondo grado soddisfacente a q(1) = a e alle altre condizioni il metodo più rapido, secondo me, è porre
$ q(x)=q_1(x-2)(x-3)+q_2(x-3)(x-1)+q_3(x-1)(x-2) $
che permette l’immediato calcolo dei coefficienti $ q_i $

[Franz89]

Ma perché non seguite il suggerimento di fph? Ci sono almeno due soluzioni facilissime e suscettibili di infinite varianti. Aggiungo che per trovare il polinomio q(x) di secondo grado soddisfacente a q(1) = a e alle altre condizioni il metodo più rapido, secondo me, è porre
$ q(x)=q_1(x-2)(x-3)+q_2(x-3)(x-1)+q_3(x-1)(x-2) $
che permette l’immediato calcolo dei coefficienti $ q_i $

quindi tu avresti
$ q_1 = a/2 $
$ q_2 = -b $
$ q_3 = c/2 $
giusto? ... e visto che non sia annulla mai e assume valori positivi, essendo p(x) una funzione continua, è sempre positivo.
Intelligente questa cosa

[Franz89]

Io stavo pure pensando a un polinomio di sesto grado che avesse i minimi reativi in 1, 2, 3...

[fph]

e visto che non sia annulla mai e assume valori positivi, essendo p(x) una funzione continua, è sempre positivo.

[Franz89]

e visto che non sia annulla mai e assume valori positivi, essendo p(x) una funzione continua, è sempre positivo.

ho detto una cazzata?