Si consideri un quadrilatero ciclico $ ABCD $ tale che $ AB>CD \text{ e } BC>AD $. Si prendano ora due punti $ X \text{ e }Y $ rispettivamente su $ AB \text{ e }CD $ tali che $ AX=CD \text{ e }AD=CY $. Mostrare che se $ M $ è il punto medio di $ XY $ allora $ AMC $ è retto.
Come minimo vogliamo vedere anche quella di Gabriel no?
AMC right angle
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Già, il problema è molto mathlinkese
Sia N il punto medio di AC, P il punto medio di CX, allora per talete $ PM \parallel BC $ e $ PN \parallel AB $ quindi $ \angle NPM = 180 - \angle ABC = \angle COA $ inoltre $ \frac{CD}{PN}=\frac{XA}{PN}=2=\frac{YA}{PM}=\frac{DA}{PM} $ quindi i triangoli DCA e PNM sono simili con rapporti tra lunghezze 2, quindi CA = 2 NM che equivale alla tesi.
Sia N il punto medio di AC, P il punto medio di CX, allora per talete $ PM \parallel BC $ e $ PN \parallel AB $ quindi $ \angle NPM = 180 - \angle ABC = \angle COA $ inoltre $ \frac{CD}{PN}=\frac{XA}{PN}=2=\frac{YA}{PM}=\frac{DA}{PM} $ quindi i triangoli DCA e PNM sono simili con rapporti tra lunghezze 2, quindi CA = 2 NM che equivale alla tesi.
Anch'io l'ho fatto in maniera molto simile, era piuttosto semplice come problema (di certo non si risolve brutalmente con vettori, complessi, analitica, trigonometria et cetera ); purtroppo non ho potuto inserire la figura all'interno della soluzione (provvedo a rimediare subito questa mia lacuna), spero di non venire penalizzato troppo per questo .
@ Gabriel:
almeno dillo che provare la tesi equivaleva a dimostrare che il punto medio $ $M$ $ del segmento $ $XY$ $ stava su una circonferenza di centro $ $N$ $ e diametro $ $AC$ $.
@ Gabriel:
almeno dillo che provare la tesi equivaleva a dimostrare che il punto medio $ $M$ $ del segmento $ $XY$ $ stava su una circonferenza di centro $ $N$ $ e diametro $ $AC$ $.
Ultima modifica di Algebert il 22 set 2008, 15:55, modificato 1 volta in totale.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
tranquillo, non sarai penalizzatoAlgebert ha scritto:Anch'io l'ho fatto in maniera molto simile, era piuttosto semplice come problema (di certo non si risolve brutalmente con vettori, complessi, analitica, trigonometria et cetera ); purtroppo non ho potuto inserire la figura all'interno della soluzione (provvedo a rimediare subito a questa mia lacuna), spero di non venire penalizzato troppo per questo .
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Soluzione elegante
Ecco una maniera molto elegante con cui qualcuno ha risolto questo problema...però provate a pensarci voi prima di andare a guardare!
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