Limite facile

[Pigkappa]

Calcolare:

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}{n \cdot [\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})]^2} $


Nota: brutalizzandolo (ad esempio sostituzione e Taylor) penso che venga facilmente. Tuttavia nel testo da cui l'ho preso si trova subito dopo la spiegazione dei limiti di successioni, quando le uniche cose che si possono usare sono praticamente il teorema dei carabinieri e la definizione di limite, a parte gli strumenti elementari (disuguaglianza di CS, AM-GM e simili). Usando solo questi strumenti, non riesco a farlo...

[pic88]

Posso chiederti come viene definito il seno di x? Alcune definizioni lo danno come l'unica funzione che soddisfa certe proprietà (più di una decina talvolta!) e tra queste c'è il limite fondamentale sinx / x per $ x \to 0 $..

[Davide90]

$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}{n \cdot [\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})]^2} = \lim_{n \to \infty} {\left[ \frac {\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{\frac {1}{\sqrt{n}}} \right]^2 $
Sostituisco $ $ \frac {1}{ \sqrt{n}} = t $ , e ottengo $ $ \lim_ {t \to 0} { \left( \frac {\sin t}{t} \right)^2} = 1 $
Va bene??

[Pigkappa]

Lo definisce così: se $ \displaystyle a+b i $ è un numero complesso nel piano, si dice che

$ \displaystyle \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $

È il seno dell'argomento del numero complesso. Mi pare che sia direttamente equivalente a definirlo come la coordinata y di un punto su $ \displaystyle x^2+y^2 = 1 $.

Sostituisco $ $ \frac {1}{ \sqrt{n}} = t $ , e ottengo $ $ \lim_ {t \to 0} { \left( \frac {\sin t}{t} \right)^2} = 1 $
Va bene??

Non proprio, perchè quando sei a fare i limiti di successioni, non ha senso fare limiti per t che tende a zero. Se non conoscessi i limiti nel caso di numeri reali, non lo potresti fare. Comunque dalla forma in cui lo hai scritto si vede effettivamente facilmente la soluzione, usando i carabinieri per $ \displaystyle \frac{sin\{roba}}{roba} $ tra 1 e $ \cos{roba} $... Quindi alla fine è risolto, grazie .

[EvaristeG]

A parte che quella definizione del seno mi lascia quanto meno basito ... perché si morde la coda (cos'è l'argomento di un numero complesso, visto che me l'hai scritto in coordinate cartesiane?), passare ad un limite sui reali ha perfettamente senso:
se il limite si può scrivere come una funzione continua applicata agli interi e se questa funzione continua ha limite all'infinito, allora il limite della successione è il limite della funzione all'infinito. Non si può fare il contrario, a meno che non si assuma ancora tra le ipotesi che esiste il limite della funzione...ma questo non ci interessa.
Cmq di solito si dimostra quel limite dicendo che, per valori prossimi allo zero, si ha
$ \sin x<x<\tan x $, che ha una simpatica (e fallace per questioni di buona definizione delle funzioni) dimostrazione grafica.

[Pigkappa]

A parte che quella definizione del seno mi lascia quanto meno basito ... perché si morde la coda (cos'è l'argomento di un numero complesso, visto che me l'hai scritto in coordinate cartesiane?), passare ad un limite sui reali ha perfettamente senso:
se il limite si può scrivere come una funzione continua applicata agli interi e se questa funzione continua ha limite all'infinito, allora il limite della successione è il limite della funzione all'infinito. Non si può fare il contrario, a meno che non si assuma ancora tra le ipotesi che esiste il limite della funzione...ma questo non ci interessa.
Cmq di solito si dimostra quel limite dicendo che, per valori prossimi allo zero, si ha
$ \sin x<x<\tan x $, che ha una simpatica (e fallace per questioni di buona definizione delle funzioni) dimostrazione grafica.

Quella definizione di seno si morde davvero un po' la coda, ma non so se è facilissimo definirlo senza mordersela... A questo punto, probabilmente, conviene definirlo come la coordinata y di un punto sulla circonferenza unitaria ad un certo angolo (e poi bisogna però definire l'angolo, e quindi l'arco, come limite di una parte del perimetro del poligono inscritto/circoscritto). Probabilmente ci sono modi migliori (e più complicati) per definire il seno, ma non li conosco e l'autore non poteva metterli nel capitolo introduttivo di un testo comune di analisi uno...

Certo che passare ad un limite sui reali ha senso; solo che nel testo da cui ho preso il limite, la trattazione dei limiti con i reali viene dopo, e quindi il problema si può risolvere anche senza passare per quella via, e volevo vedere se veniva fuori la dimostrazione pensata da chi aveva messo lì quel problema.

[AleX_ZeTa]

Puoi definire il seno come la soluzione del problema di Cauchy
$ y''(x) + y(x) = 0 $
$ y(0) = 0 $
$ y'(0) = 1 $

oppure come serie di potenze... che puoi facilmente ricavare dallo sviluppo/definizione di $ e^{ix} $ e da $ \sin x = {1\over 2i}(e^{ix} - e^{-ix}) $