dato che siamo in vena di progressioni aritmetiche....
dato che siamo in vena di progressioni aritmetiche....
Si dimostri che in ogni progressione aritmetica infinita di unmeri naturali esistono infiniti termini nella cui fattorizzazione compaiono gli stessi fattori primi (ovviamente con esponenti diversi)
marco
xke la metti in piccolo?tanto qualcuno di passaggio se la risolve al tuo stesso modo non la posta, e se vuole risolverlo senza guardare la soluzione lo fa lo stesso..
la mia idea era dato un intero positivo(be, uno ce ne deve stare
) $ a_0=\prod{p_i^{\alpha_i}} $ appartente alla progressione di ragione $ q=\prod{q_i^{\beta_i}} $ definiamo $ m=gcd(a_0,q) $. la tesi resta vera se dividiamo tutti i termini della progressione per $ m $, per cui possiamo assumere wlog $ gcd(a_0,q)=1 $. se esiste $ a_1=a_0+kq=\prod{p_i^{t_i}}, t_i \ge \alpha_i \forall i $ allora è vero che $ kq=a_0 (\prod{p_i^{t_i-\alpha_i}-1}) $ $ \implies k=Ka_0, K \in \mathbb{N} $ $ \implies \prod{p_i^{t_i-\alpha_i}}\equiv 1 \pmod q $, ma ricordiamo che i $ t_i $ li stabiliamo noi e direi che non è difficile trovarli tali che $ t_i \equiv \alpha_i \pmod{\phi(q)} $.
ps dubito che la darebbero a cesenatico..
complimenti molto piu bella della mia!julio14 ha scritto:data la progressione di ragione q kq+a, tutti i numeri della forma a(q+1)^n sono congrui ad a modulo q quindi appartengono alla progressione e ovviamente rispettano la tesi
la mia idea era dato un intero positivo(be, uno ce ne deve stare
) $ a_0=\prod{p_i^{\alpha_i}} $ appartente alla progressione di ragione $ q=\prod{q_i^{\beta_i}} $ definiamo $ m=gcd(a_0,q) $. la tesi resta vera se dividiamo tutti i termini della progressione per $ m $, per cui possiamo assumere wlog $ gcd(a_0,q)=1 $. se esiste $ a_1=a_0+kq=\prod{p_i^{t_i}}, t_i \ge \alpha_i \forall i $ allora è vero che $ kq=a_0 (\prod{p_i^{t_i-\alpha_i}-1}) $ $ \implies k=Ka_0, K \in \mathbb{N} $ $ \implies \prod{p_i^{t_i-\alpha_i}}\equiv 1 \pmod q $, ma ricordiamo che i $ t_i $ li stabiliamo noi e direi che non è difficile trovarli tali che $ t_i \equiv \alpha_i \pmod{\phi(q)} $. ps dubito che la darebbero a cesenatico..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
jordan non conosco la notazione da te utilizzata quindi non capisco la tua dimostrazione..
io ho fatto così:
poniamo $ $a_0 $ il primo termine della progressione, e $ $r $ la sua ragione. Allora i termini $ $(a_0+r)(1+r)^k $ con $ $k $ naturale fanno tutti parte della progressione in quanto $ $(a_0+r)(1+r)^k=(a_0+r)(1+r)^{k-1}+(a_0+r)(1+r)^{k-1}\cdot r $
io ho fatto così:
poniamo $ $a_0 $ il primo termine della progressione, e $ $r $ la sua ragione. Allora i termini $ $(a_0+r)(1+r)^k $ con $ $k $ naturale fanno tutti parte della progressione in quanto $ $(a_0+r)(1+r)^k=(a_0+r)(1+r)^{k-1}+(a_0+r)(1+r)^{k-1}\cdot r $
marco
Io, risolvendolo praticamente come ha fatto julio14 avevo semplicemente cercato di dimostrare che data una progressione aritmetica è possibile estrarre una (anzi, infinit) progressioni geometriche. E in una progressione geometrica tutti i termini a parte eventualmente il primo hanno gli stessi fattori primi.
Non so o non ricordo se è un fatto noto, risulta quindi che data una progressione aritmetica PA(a,b) di base a e ragione b e un termine x di PA(a,b) esiste una progressione geometrica PG(x,kb+1) con tutti i termini contenuti in PA(a,b).
Non so o non ricordo se è un fatto noto, risulta quindi che data una progressione aritmetica PA(a,b) di base a e ragione b e un termine x di PA(a,b) esiste una progressione geometrica PG(x,kb+1) con tutti i termini contenuti in PA(a,b).
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