OliForum Matematico

ahaha è vero angelo3, non me lo ricordavo!
Grazie <enigma>, mi hai risolto un bel dubbio!

Ciao ragazzi, mi sembra nessuno l' abbia già chiesto, quindi la butto lì: qualcuno ha (qualcosa di più) di un idea di come dimostrare la convessità dei polinomi di Chebyshev in $ \left[1,\infty\right) $ ? E' una curiosità filosofica più che una necessità impellente in quanto il problema si scrive bene anche con due righe di conti in più, è solo che, per una volta che poteva servire, mi sarebbe piaciuto usare un pochettino di analisi

Derivi brutalmente usando $T_n(x)= \cosh (n \text{ arccosh } x)$. Viene anche facile.

Rilancio, senza conti:
(1) i polinomi di Chebyshev sono polinomi di grado $n$ che hanno $n$ zeri (quindi tutti) in [-1,1].
(2) per Rolle, tra ogni due zeri del polinomio c'è uno zero della derivata prima. Quindi la derivata prima è un polinomio di grado $n-1$ che ha tutti i suoi $n-1$ zeri in [-1,1].
(3) analogamente, la derivata seconda ha tutti i suoi zeri in [-1,1].
(4) quindi la derivata seconda non cambia mai segno in $[1,\infty)$. Qual è questo segno?

Bella ragazzi grazie mille a entrambi! infine ho seguito la strada proposta(mi) da fph: sembrava più "tangibile"! Comunque in definitiva mi sembra proprio convenga fare i conti come nel video

Un po' di domande:
Si possono fare i disegni di geometria con LaTeX? Sono necessari? Come mi consigliate di farli?
Inoltre:
esercizio A2; applicando il bunching all'equazione nascosta postata da EvaristeG e ponendo le condizioni sugli esponenti in modo da rendere la disuguaglianza vera ottengo $ \alpha\geq3 $. Potrei evitare anche di trovare controesempi nell'intervallo [0,3] se il bunching fosse un "se e solo se". Lo è?
ps. ho postato la domanda anche in algebra ma magari voi potete consigliarmi in questo caso specifico.
pps. posso dare per scontato il bunching? non l'ho trovato nei video del basic, ma nemmeno nei medium...

I disegni di geometria falli con Geogebra e poi li esporti/fai uno stamp su Paint.. io così faccio!

ma poi come li importo in LaTeX?

Il bunching è sulle Schede Olimpiche (A15, "Raggruppamento e Schur") quindi direi si possa dare per buono
E comunque al Medium c'è!

Per le immagini in $\LaTeX$ io uso questo metodo, è veramente comodo!

Si deve dimostrare la legge di reciprocità quadratica e dare per buono il fatto che le congruenze $ \mod 3 $ e $ \mod -3 $ sono "uguali "per l'N4 del WC?

Commandline ha scritto: esercizio A2; applicando il bunching all'equazione nascosta postata da EvaristeG e ponendo le condizioni sugli esponenti in modo da rendere la disuguaglianza vera ottengo $ \alpha\geq3 $. Potrei evitare anche di trovare controesempi nell'intervallo [0,3] se il bunching fosse un "se e solo se". Lo è?
ps. ho postato la domanda anche in algebra ma magari voi potete consigliarmi in questo caso specifico.
pps. posso dare per scontato il bunching? non l'ho trovato nei video del basic, ma nemmeno nei medium...

Se vuoi usare il bunching, puoi farlo direttamente, come è detto nel video. Quella che ho postato io è un modo di farlo senza, usando le medie.
Non puoi evitare di trovare controesempi.
Puoi dare il bunching per scontato, basta che sia ben spiegato come lo applichi e perché funziona.

karlosson_sul_tetto ha scritto:Si deve dimostrare la legge di reciprocità quadratica e dare per buono il fatto che le congruenze $ \mod 3 $ e $ \mod -3 $ sono "uguali "per l'N4 del WC?

Come ho scritto da qualche parte, i contenuti di un senior medium possono essere usati *ed in generale tutti i cosiddetti fatti noti*, da chi prova con gli esercizi del WC.
La reciprocità quadratica rientra, se non nella prima, sicuramente nella seconda.
La seconda domanda non la capisco. Cosa vorresti dare per buono? Perché se è quello che ho capito io ($a\equiv b \bmod 3 \Longleftrightarrow a\equiv b\bmod -3$?), la risposta è *ristudiati cos'è una congruenza* (magari da un video del senior basic).

EvaristeG ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto:Si deve dimostrare la legge di reciprocità quadratica e dare per buono il fatto che le congruenze $ \mod 3 $ e $ \mod -3 $ sono "uguali "per l'N4 del WC?

Come ho scritto da qualche parte, i contenuti di un senior medium possono essere usati *ed in generale tutti i cosiddetti fatti noti*, da chi prova con gli esercizi del WC.
La reciprocità quadratica rientra, se non nella prima, sicuramente nella seconda.
La seconda domanda non la capisco. Cosa vorresti dare per buono? Perché se è quello che ho capito io ($a\equiv b \bmod 3 \Longleftrightarrow a\equiv b\bmod -3$?), la risposta è *ristudiati cos'è una congruenza* (magari da un video del senior basic).

Ok, grazie, quel che mi serviva... ho un blocco mentale per le congruenze in negativo XD

Edit: cavolata enorme!! L'ho scritto solo perchè ho raggiunto quota 300

grazie (tanto fra poco tornerò con qualche altra domanda )

@Drago96: il metodo che mi hai suggerito è fantastico!