OliForum Matematico

FeddyStra ha scritto:Pensavo toccasse a te proporlo.

FeddyStra ha scritto:Dimostrare che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n!} $ converge. [...]

FeddyStra ha scritto:A dire il vero, non so neache quale sia il livello di difficoltà.

HiTlEuLeR ha scritto:L'idea, assai semplicemente, è di generalizzare in modo opportuno la dimostrazione già utilizzata sul forum, in un'altra occasione, per provare l'irrazionalità di $ e $.

Teorema delle prime piogge (own). Sia $ \{a_n\}_{n=1}^\infty $ una successione di interi non negativi per cui i) $ a_n \le n $, per ogni $ n = 1, 2, \ldots $, ed ii) esistono $ \alpha \in [0,1[ $ e infiniti $ n \in \mathbb{N}_0 := \{1, 2, \ldots\} $ tali che $ 1 \le a_n \le n\;\!\alpha $. Allora la serie $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n!} $ si somma ad un numero irrazionale.

Proof. Poiché $ \displaystyle\frac{a_n}{n!} \le \frac{1}{(n-1)!} $, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, e $ \displaystyle \frac{1}{n!} = \mathcal{O}\!\left(\frac{1}{n^a}\right) $, per ogni $ a \in \mathbb{R} $ (v. qui per la notazione), la serie assoluta (i.e., a termini positivi) $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n!} $ è senz'altro convergente, per confronto asintotico con la serie $ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $. Dunque, per il seguito, sia $ \xi $ la sua somma. Per ipotesi, è garantita l'esistenza di una successione monotòna (strettamente) crescente $ \{n_i\}_{i=1}^\infty $ di interi positivi tale che $ 1 \le a_{n_{i}+1} \le (n_{i}+1) \alpha $, per ogni $ i \in \mathbb{N}_0 $, dove $ \alpha \in \;]0,1[ $ è una costante. Dunque

• $ \displaystyle\forall i \in \mathbb{N}_0: 0 < \frac{a_{n_i+1}}{n_i + 1} \le n_i! \cdot \xi - n_i! \sum_{k=1}^{n_i} \frac{a_k}{k\;\!!} = $$ \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{a_{n_i + k}}{(n_i + 1)(n_i + 2) \cdots (n_i + k)} \le $
  
  • $ \displaystyle\le \alpha + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(n_i + 1)(n_i + 2)\cdots (n_i + k-1)} \le\alpha + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n_i + 1)^k} = \alpha + \frac{1}{n_i} $.

Di conseguenza, $ \displaystyle 0 < \frac{a_{n_i+1}}{n_i + 1} \le n_i! \cdot \xi - n_i! \sum_{k=1}^{n_i} \frac{a_k}{k\;\!!} < 1 $, definitivamente per $ i \in \mathbb{N}_0 $, in quanto $ \displaystyle \alpha + \frac{1}{n_i} \to \alpha $, per $ i \to \infty $, e $ 0 < \alpha < 1 $. Ergo,

• $ \displaystyle \exists \;\! v \in \mathbb{N}_0: i \in \mathbb{N}_0, i \ge v \quad\implies\quad 0=\left\lfloor n_i!\cdot\xi-n_i!\sum_{k=1}^{n_i} \frac{a_k}{k\;\!!}\right\rfloor= $$ \displaystyle\lfloor n_i!\cdot\xi\rfloor-n_i!\sum_{k=1}^{n_i}\frac{a_k}{k\;\!!} $,

poiché $ \displaystyle n_i! \sum_{k=1}^{n_i} \frac{a_k}{k\;\!!} $ è un intero, per ogni $ i=1, 2, \ldots $. Ovvero

• $ \displaystyle \exists \;\! v \in \mathbb{N}_0: i \in \mathbb{N}_0, i \ge v \quad\implies\quad \lfloor n_i!\cdot\xi\rfloor = n_i!\sum_{k=1}^{n_i}\frac{a_k}{k\;\!!} \in \mathbb{N}_0.\qquad\qquad(\star) $

A questo punto, per assurdo, ammettiamo che $ \xi $ sia razionale, i.e., che esistano $ a, b\in \mathbb{N}_0 $ per cui $ \displaystyle\xi = \frac{a}{b} $. Quindi sia $ i \in \mathbb{N}_0 $ tale che $ n_i \ge b $. Allora $ n_i! \cdot \xi $ è intero, e pertanto, dalla $ (\star) $, segue $ \displaystyle n_i! \cdot \xi = \lfloor n_i!\cdot\xi\rfloor = n_i!\sum_{k=1}^{n_i}\frac{a_k}{k\;\!!} < n_i! \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k!} = n_i! \cdot \xi $, il che è tuttavia impossibile. Da qui la tesi. []

Soluzione. Per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, vale che i) $ \varphi(n) \in \mathbb{N}_0 $; ii) $ \varphi(n) \le n $; e iii) $ \varphi(n) \le \frac{1}{2}\;\!n $, nel caso che $ n $ sia pari. Quindi basta applicare il teorema delle prime piogge e concludere.

jordan ha scritto:Problema 41 (Salvatore Tringali) Mostrare che, per ogni $ k \in \mathbb{N} $, esiste $ n \in \mathbb{N}_0 $ tale che $ \varphi(\mathbb{N}_0) \cap [n,n+k] = \emptyset $. Qui $ \mathbb{N}:=\{0, 1, \ldots\} $, $ \mathbb{N}_0 := \mathbb{N}\setminus\{0\} $ e $ \varphi(\cdot) $ è la funzione di Eulero.

Ps. Al momento non sono in possesso di una soluzione, nè Lui sembra intenzionato a postarla dopo qualche tempo..per cui, buon lavoro!

jordan ha scritto:[...]proporrei anche agli autori dei problemi di postare la loro soluzione qualora il problema non venisse risolto entro circa una settimana..