OliForum Matematico

kalu ha scritto:

Kfp ha scritto:Ripeto una domanda che forse è stata già fatta, nel G1 posso dare per noto che il simmetrico dell'ortocentro rispetto al punto medio di un lato sia il diametralmente opposto sulla circonferenza circoscritta del vertice opposto al lato considerato come nella spiegazione, o devo abbozzare una dimostrazione? Non ho nemmeno idea di quale sia la difficoltà del provare questo fatto...

Beh dovresti dimostrarlo.. in realtà mi sembra molto semplice: se $ H' $ è il simmetrico di $ H $ rispetto al punto medio del lato $ AB $, vuoi far vedere che $ \angle H'AC $ (o $ \angle H'BC $) è retto, giusto?

Ma è scontato che $ H' $ stia sulla circonferenza circoscritta? Perdonate l'ignoranza...

@Kfp Il fatto che $ H' $ stia sulla circonferenza circoscritta è un lemma abbastanza noto, ed anche facile. Al massimo si potrebbe dare per noto questo, ma non il fatto che $ H' $ e $ A' $ sono diametralmente opposti... comunque ti consiglio di dedicarci 2 righe di dimostrazione. Vorrei che ci arrivassi da solo visto che sono un paio di similitudini e uguaglianze fra angoli abbastanza telefonate, ma se proprio trovi difficoltà dillo.
PS: E comunque è di certo spiegato nei video basic dei senior degli anni passati, che faresti bene a guardare

@ Kalu grazie, ho disgraziatamente trovato la dimostrazione appena dopo aver mandato il messaggio, grazie infinitamentissimamente.

Oh prego

Ho un dubbio nel C8, alla dimostrazione della disuguaglianza finale. Ho letto un post che era stato scritto tempo fà e ho seguito le indicazioni.

Nel caso in cui: $n \geq \alpha+\beta$, $n \geq 2d$, $\alpha \geq \beta$.
Ottengo $\beta \leq n-\alpha$. Quindi il massimo che può valere $\beta$ è $n-\alpha$. Il minimo è $0$.

La disuguaglianza da verificare è questa: $d\alpha +2d\beta -dn -\alpha \beta \leq 0$
Sostituendo $\beta$ con $n-\alpha$ ottengo:
$\alpha^2-(n+d)\alpha +dn \leq 0$
che però è verificata per $d \leq \alpha \leq n$.
Quindi per uno dei due valori estremali di $\beta$ non è sempre verificata o sbaglio?
Con $\alpha < d$ che succede?

xXStephXx ha scritto:Ho un dubbio nel C8, alla dimostrazione della disuguaglianza finale. Ho letto un post che era stato scritto tempo fà e ho seguito le indicazioni.

Nel caso in cui: $n \geq \alpha+\beta$, $n \geq 2d$, $\alpha \geq \beta$.
Ottengo $\beta \leq n-\alpha$. Quindi il massimo che può valere $\beta$ è $n-\alpha$. Il minimo è $0$.

La disuguaglianza da verificare è questa: $d\alpha +2d\beta -dn -\alpha \beta \leq 0$
Sostituendo $\beta$ con $n-\alpha$ ottengo:
$\alpha^2-(n+d)\alpha +dn \leq 0$
che però è verificata per $d \leq \alpha \leq n$.
Quindi per uno dei due valori estremali di $\beta$ non è sempre verificata o sbaglio?
Con $\alpha < d$ che succede?

Succede che non è più verificata $\alpha \geq \beta$ (ricordati che sei nel caso $\beta=n-\alpha$)

Grazie 1000 Kalu! xD Non mi ero reso minimamente conto di aver posto quella condizione ahahah

@kalu

si mi è rimasto solo il punto b.) del G4 ma è estremamente difficile da capire

@xXStephXx capita
@Scambret Seguimi:
Definisci $D'$ e $D''$ analogamente a $D$ rispetto a $B$ e $C$. Cioè: $D'$ è l'intersezione tra $AC$ e il segmento congiungente $B$ e l'intersezione delle tangenti per $A$ e $C$; $D''$ è l'intersezione tra $AB$ e il segmento congiungente $C$ e l'intersezione delle tangenti per $A$ e $B$. Devi riuscire a dimostrare che $AD$, $BD'$, e $CD''$ concorrono. Non so se nella parte $a$ del problema hai parlato di simmediane o hai preso altre strade, comunque un modo per dimostrare la concorrenza dei tre segmenti è appunto dire che sono simmediane; un altro modo può essere usare il teorema di ceva trigonometrico (http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... onometrica) infatti puoi dimostrare (lo si fa anche nel video se non sbaglio) che $\frac{\angle BAD}{\angle DAC}=\frac{AB}{AC}$, e evidentemente per le altre coppie di angoli ($\angle ABD'$ e $\angle D'BC$, $\angle ACD''$ e $\angle D''CB$) varranno delle proporzioni simili...
Sia $L$ il punto di concorrenza di prima. Applica una omotetia di centro $A$ che manda $D$ in $L$. La stessa omotetia manderà $E$ e $F$ in punti che chiamo $Q$ e $R$. L'omotetia manda circonferenze in circonferenze, quindi se $F$, $B$, $C$ e $E$ erano conciclici lo saranno anche le loro immagini! Fai esattamente lo stesso con $B$ e $C$ (deve venir fuori tutto simmetrico): devi applicare delle omotetie simili prendendo come centri $B$ e $C$, che portino in $L$ rispettivamente $D'$ e $D''$. Ora puoi notare delle sovrapposizioni fra alcuni punti... ($Q$ è anche l'immagine di $A$ nell'omotetia di centro $C$, $R$ è anche l'immagine di $A$ nell'omotetia di centro $B$, e lo stesso accade per altre coppie di punti... perchè? ricorda che l'omotetia conserva i parallelismi!) Alla fine avrai 6 punti quattro a quattro conciclici (vedendo il disegno nel video dovrebbe esserti più chiaro), e segnandoti tutte le congruenze tra angoli derivanti da queste ciclicità verrà fuori che le tre circonferennze (immagini delle circonferenze di centri $A_1$, $B_1$ e $C_1$ nelle omotetie di centri rispettivamente $A$, $B$, $C$) coincidono in un'unica circonferenza. Il centro di questa circonfernza è su $AA_1$, su $BB_1$ e su $CC_1$ (perchè?) e qui concludi.
Spero di esserti stato di aiuto, più di così non posso assolutamente fare..

Ok vedrò di studiarlo, grazie spero di capirlo più che altro

Gli esercizi sono da spedire entro domenica.
Vale come gli anni scorsi che è sufficente che loro se li trovino nella mail il lunedì mattina ?

Immagino di sì
Una cosa non mi è chiara.. nel problema G6, la soluzione 2 dimostra che i due angoli BOP e DOP sono uguali e poi dice di avere concluso.. ma la tesi del problema è tutt'altra, non dovrebbe mostrare che AOB=COD anche? (ed anzi, per certe figure addirittura il fatto che BOP e DOP sono uguali è inutile)

Valenash ha scritto:Immagino di sì
Una cosa non mi è chiara.. nel problema G6, la soluzione 2 dimostra che i due angoli BOP e DOP sono uguali e poi dice di avere concluso.. ma la tesi del problema è tutt'altra, non dovrebbe mostrare che AOB=COD anche? (ed anzi, per certe figure addirittura il fatto che BOP e DOP sono uguali è inutile)

Più precisamente dovresti dimostrare che $\angle AOP = \angle POC$ , e questo si fa in maniera praticamente analoga, perciò non viene spiegato nel video

Agno ha scritto:Gli esercizi sono da spedire entro domenica.
Vale come gli anni scorsi che è sufficente che loro se li trovino nella mail il lunedì mattina ?

Bè, l'anno scorso la scadenza era il 15 Luglio ma molte persone (me compreso) avevano inviato gli esercizi la sera del 15...
Analogamente se quest'anno la scadenza è il 16 Luglio penso che si possa inviare tranquillamente anche la sera del 16. Sbaglio?

kalu ha scritto:Ora puoi notare delle sovrapposizioni fra alcuni punti... (Q è anche l'immagine di A nell'omotetia di centro C, R è anche l'immagine di A nell'omotetia di centro B, e lo stesso accade per altre coppie di punti... perchè? ricorda che l'omotetia conserva i parallelismi!)

Se traccio le parallele ai lati passanti dal punto L trovo sei punti, ma la cosa che non mi spiego è il perchè in realtà quei 6 punti sono 12!! Cioè il perchè due omotetie diverse con fattore differente e centro differente arrivano esattamente a quei punti!!

Inoltre a che ora è il test finale???

Le esperienze olimpioniche sono anche Cesenatici???