Partiamo dal presupposto che $ \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} $
L'idea è quella di aggiungere $ \binom{1917}{23} $ per poi sottrarlo. Iniziamo a esplicitare (si dice così?) la sommatoria: $ \binom{1917}{23}+\binom{1917}{22}=\binom{1918}{23} $.
Sommiamo al risultato ottenuto il secondo termine della sommatoria: $ \binom{1918}{22}+\binom{1918}{23}=\binom{1919}{23}=\binom{1917}{22}+\binom{1918}{22}+\binom{1917}{23} $
Poi il terzo: $ \binom{1919}{23}+\binom{1919}{22}=\binom{1920}{23}=\binom{1917}{22}+\binom{1918}{22}+\binom{1919}{22}+\binom{1917}{23} $
Adesso si vede... Sommando tutti i termini della sommatoria otteniamo $ \displaystyle\sum_{n=1917}^{2030}\binom{n}{22}=\binom{2031}{23}-\binom{1917}{23} $
Più in generale $ \displaystyle\sum_{n=a}^{b}\binom{n}{k}=\binom{b+1}{k+1}-\binom{a}{k+1} $
Senza doversi per forza ricordare la formula a memoria è facile ricavarsela una volta visto il procedimento rappresentando i binomiali nel triangolo di Tartaglia
Spero sia comprensibile, anche se in questa discussione c'è qualcuno che sa spiegarlo meglio di me
