OliForum Matematico

La sommatoria di gian92 è $ \displaystyle \sum_{n=1917}^{2030} \binom{n}{22} $
Partiamo dal presupposto che $ \binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1} $
L'idea è quella di aggiungere $ \binom{1917}{23} $ per poi sottrarlo. Iniziamo a esplicitare (si dice così?) la sommatoria: $ \binom{1917}{23}+\binom{1917}{22}=\binom{1918}{23} $.
Sommiamo al risultato ottenuto il secondo termine della sommatoria: $ \binom{1918}{22}+\binom{1918}{23}=\binom{1919}{23}=\binom{1917}{22}+\binom{1918}{22}+\binom{1917}{23} $
Poi il terzo: $ \binom{1919}{23}+\binom{1919}{22}=\binom{1920}{23}=\binom{1917}{22}+\binom{1918}{22}+\binom{1919}{22}+\binom{1917}{23} $
Adesso si vede... Sommando tutti i termini della sommatoria otteniamo $ \displaystyle\sum_{n=1917}^{2030}\binom{n}{22}=\binom{2031}{23}-\binom{1917}{23} $
Più in generale $ \displaystyle\sum_{n=a}^{b}\binom{n}{k}=\binom{b+1}{k+1}-\binom{a}{k+1} $
Senza doversi per forza ricordare la formula a memoria è facile ricavarsela una volta visto il procedimento rappresentando i binomiali nel triangolo di Tartaglia
Spero sia comprensibile, anche se in questa discussione c'è qualcuno che sa spiegarlo meglio di me

Ok, buoni entrambi i vostri ragionamenti!

Su quello di matemark aggiungo un commentino... Spesso questi problemi hanno due tipi di soluzioni, quella "algebrica" (conti con i binomiali) e quella "combinatoria" (ragionamenti sui modi di disporre palline, bigezioni). In questo caso oltre alla tua soluzione "algebrica" ce n'è un'altra "combinatoria" interessante.

L'idea da ricordare qui è: invece di contare tutti i casi che vanno bene, conto quelli che vanno male e poi sottraggo. In questo caso:
-sappiamo contare quante sono le disposizioni se eliminiamo il vincolo che nella scatola gialla ci siano almeno 113 palline (vedi post di mod_2)
-sappiamo contare quante sono le disposizioni tali che nella scatola gialla ci siano almeno 114 palline (question: come?)
Quindi facciamo la sottrazione e abbiamo vinto.
Il risultato ovviamente è lo stesso di matemark, visto che i due ragionamenti sono equivalenti.

L'idea di "conto quelli che vanno male" compare in parecchi problemi, va tenuta a mente