x^3+y^3=7z^3

[FrancescoVeneziano]

Ok, ora è un po' più chiaro. Si osserva che A^3-B^3 in modulo è sempre maggiore di 3 (perché i casi con A o B uguali a 0,1,-1 si escludono facilmente) e quindi anche con la massima semplificazione possibile nella frazione abbiamo che C' è in modulo maggiore di C.
In effetti A,B,C crescono in maniera spaventosa, per la precisione il loro logaritmo (o, più precisamente, l'altezza del punto [A:B:C]) dopo n iterazioni cresce come 4^n.

Spendo ancora due parole su questo problema.

\begin{matematica non elementare}
L'equazione x^3+y^3=7 individua una curva nel piano. Questa curva, anche se non si presenta nella forma canonica in cui si vedono di solito, è una curva ellittica (niente a che vedere con le ellissi) e su di essa è possibile eseguire una "celebre" costruzione geometrica, dovuta pare a Newton ed illustrata su Wikipedia sicuramente meglio di quanto potrei fare io senza immagini, che permette di definire una legge di addizione commutativa tra i punti della curva.
Questa addizione tra punti inoltre mantiene il campo di definizione, cioè se prendiamo due soluzioni razionali dell'equazione ed eseguiamo la "somma" sulla curva ellittica, il risultato è ancora una soluzione razionale; questo permette date alcune soluzioni di ottenerne altre. È un teorema molto profondo che ogni soluzione razionale si possa ottenere tramite questa costruzione partendo da un numero finito di soluzioni.
La sostituzione fornita da Jordan è esattamente quella che manda un punto P nel punto -2P (un scrittura per indicare l'opposto del punto P+P); verificare che si ottengono effettivamente soluzioni sempre diverse è un passaggio necessario perché potrebbe avvenire, e in altre curve ellittiche avviene, che partendo da una soluzione ed iterando la sostituzione si ottengano ciclicamente sempre gli stessi punti, e sarebbe quindi necessario, ma non sempre possibile, per ottenere infiniti punti, scegliere accuratamente quello di partenza.
\end{matematica non elementare}