Discesa Infinita

[bestiedda]

consideriamo solo numeri interi e positivi, tanto non si perde di generalita'
se $ $(x,y,z)$ $ e' sol di $ $x^2+y^2+z^2=2xyz$ $, allora e' una terna di numeri pari $ $(x,y,z)=2(a,b,c)$ $, con $ $(a,b,c)$ $ sol di $ $a^2+b^2+c^2=4abc$ $, che e' una terna di numeri pari $ $(a,b,c)=2(l,m,n)$ $, con $ $(l,m,n)$ $ sol di $ $l^2+m^2+n^2=8abc$ $, che e' una terna di numeri pari ...

.......ebbene?

[piever]

Questo si aggiusta con una piccola accortezza

Ehm... sarebbe a dire?

Interessi: divaning

Impiego: nullafacente

Nick: Oblomov

Qualcosa mi dice che sei troppo pigro per trovarla da te

Comunque è quello che dice SkZ: Considero l'equazione $ x^2+y^2+z^2=2^nxyz $ e prendo tra le quaterne di interi positivi (x,y,z,n) che la soddisfano quella che minimizza la somma x+y+z...

[Haile]

Si può anche osservare che per ogni $ $n$ $ pari esiste un $ $k$ $ tale che

$ $2^k | n \ \lor 2^{k+1} \not| n$ $

Nella relazione di cui sopra
$ $x^2 + y^2 + z^2 = 2^{n} xyz$ $

invece il LHS è diviso da $ $2^{n}$ $ per ogni $ n $, il che è assurdo... quindi è soddisfatta solo da $ $x=y=z=0$ $

[SkZ]

Io sono uno di quelli interdetti a rispondere: posso solo dare hint.
Dato che ormai hanno gia' risposto, non corro rischi con Sam (:P)

data l'eq $ $x_i^2+y_i^2+z_i^2=2^ixyz\qquad x_i,y_i,z_i,i\in\mathbb{N}^*$ $, sia la terna $ $(x_i,y_i,z_i)$ $ una soluzione, si dimostra essere formata da numeri pari e inoltre $ $(x_n,y_n,z_n)=2(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})$ $.
Ergo $ $(x_n,y_n,z_n)=2^{1-n}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $ o $ $(x_{1},y_{1},z_{1})=2^{n-1}(x_n,y_n,z_n)$ $, ove $ ~n $ puo' essere un intero grande a piacere.
Notare che se esiste soluzione per $ ~i=1 $, allora esiste $ ~\forall i\in\mathbb{N}^* $: se esiste per $ ~i=1 $ allora questa e' riconducibile a quella per $ ~i=2 $, ma il discorso e' invertibile (la sol per $ ~i=2 $ e' pari a meta' di quella per $ ~i=1 $).
Ergo si vede che la sol diverge, a meno che non sia nulla.

[Oblomov]

Qualcosa mi dice che sei troppo pigro per trovarla da te

Beh, guarda che almeno un tentativo l'ho fatto
Grazie per la soluzione comunque...

Ob

[PubTusi]

Bellissima la soluzione, io non ci avrei mai arrivato

OTtone: Scusa Oblomov, ma sei russo anche tu?

[Oblomov]

Naah... qui e qui puoi trovare l'origine del mio nick...
non ditelo in giro ma un giorno dovrò anche decidermi a leggerlo quel benedetto romanzo

Ciao!
Ob

P.S. Perché "anche"? Tu appartieni alla comunità russa del forum?

[PubTusi]

NO!