OliForum Matematico

SkZ ha scritto:consideriamo solo numeri interi e positivi, tanto non si perde di generalita'
se $ $(x,y,z)$ $ e' sol di $ $x^2+y^2+z^2=2xyz$ $, allora e' una terna di numeri pari $ $(x,y,z)=2(a,b,c)$ $, con $ $(a,b,c)$ $ sol di $ $a^2+b^2+c^2=4abc$ $, che e' una terna di numeri pari $ $(a,b,c)=2(l,m,n)$ $, con $ $(l,m,n)$ $ sol di $ $l^2+m^2+n^2=8abc$ $, che e' una terna di numeri pari ...

.......ebbene?

Oblomov ha scritto:

piever ha scritto:Questo si aggiusta con una piccola accortezza

Ehm... sarebbe a dire?

Interessi: divaning

Impiego: nullafacente

Nick: Oblomov

Qualcosa mi dice che sei troppo pigro per trovarla da te

Comunque è quello che dice SkZ: Considero l'equazione $ x^2+y^2+z^2=2^nxyz $ e prendo tra le quaterne di interi positivi (x,y,z,n) che la soddisfano quella che minimizza la somma x+y+z...

Si può anche osservare che per ogni $ $n$ $ pari esiste un $ $k$ $ tale che

$ $2^k | n \ \lor 2^{k+1} \not| n$ $

Nella relazione di cui sopra
$ $x^2 + y^2 + z^2 = 2^{n} xyz$ $

invece il LHS è diviso da $ $2^{n}$ $ per ogni $ n $, il che è assurdo... quindi è soddisfatta solo da $ $x=y=z=0$ $

Io sono uno di quelli interdetti a rispondere: posso solo dare hint.
Dato che ormai hanno gia' risposto, non corro rischi con Sam (:P)

data l'eq $ $x_i^2+y_i^2+z_i^2=2^ixyz\qquad x_i,y_i,z_i,i\in\mathbb{N}^*$ $, sia la terna $ $(x_i,y_i,z_i)$ $ una soluzione, si dimostra essere formata da numeri pari e inoltre $ $(x_n,y_n,z_n)=2(x_{n+1},y_{n+1},z_{n+1})$ $.
Ergo $ $(x_n,y_n,z_n)=2^{1-n}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $ o $ $(x_{1},y_{1},z_{1})=2^{n-1}(x_n,y_n,z_n)$ $, ove $ ~n $ puo' essere un intero grande a piacere.
Notare che se esiste soluzione per $ ~i=1 $, allora esiste $ ~\forall i\in\mathbb{N}^* $: se esiste per $ ~i=1 $ allora questa e' riconducibile a quella per $ ~i=2 $, ma il discorso e' invertibile (la sol per $ ~i=2 $ e' pari a meta' di quella per $ ~i=1 $).
Ergo si vede che la sol diverge, a meno che non sia nulla.

piever ha scritto:Qualcosa mi dice che sei troppo pigro per trovarla da te

Beh, guarda che almeno un tentativo l'ho fatto
Grazie per la soluzione comunque...

Ob

Bellissima la soluzione, io non ci avrei mai arrivato

OTtone: Scusa Oblomov, ma sei russo anche tu?

Naah... qui e qui puoi trovare l'origine del mio nick...
non ditelo in giro ma un giorno dovrò anche decidermi a leggerlo quel benedetto romanzo

Ciao!
Ob

P.S. Perché "anche"? Tu appartieni alla comunità russa del forum?

NO!