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Inviato: 09 giu 2008, 01:41
da Oblomov
Passerò per il solito arcipignolo, ma...
fede90 ha scritto:Passo 1. Dimostriamo che $ $\sqrt[3]2$ $ è irrazionale. Supponiamo per assurdo che sia razionale, cioè che $ $\sqrt[3]2=\frac{p}{q}$ $ (con q che non divide p, cioè la frazione p/q è ridotta ai minimi termini). Elevando tutto al cubo otteniamo $ $2p^3=q^3$ $ perciò q deve essere pari. Poniamo $ $q=2q'$ $. Sostituendo si ottiene $ $p^3=4q'^3$ $. Da qui otteniamo che p deve essere pari, perciò $ $p=2p' $. Sostituendo si ottiene $ $2p'^3=q'^3$ $, da cui $ $\sqrt[3]2=\frac{p'}{q'}$ $, assurdo perchè avevamo supposto che p/q era ridotta ai minimi termini.
La parte in grassetto, in effetti, è facoltativa: quando hai dimostrato che sia p che q devono essere pari hai già un assurdo (poiché avevamo inizialmente supposto la frazione ridotta ai minimi termini)
Inviato: 09 giu 2008, 04:10
da SkZ
A me quella parte sembra sostanziale. La dimostrazione per essere completa deve dire ove c'e' l'assurdo e perche'.
Inviato: 09 giu 2008, 10:50
da salva90
fede90 ha scritto:
Passo 1. Dimostriamo che $ $\sqrt[3]2$ $ è irrazionale. Supponiamo per assurdo che sia razionale, cioè che $ $\sqrt[3]2=\frac{p}{q}$ $ (con q che non divide p, cioè la frazione p/q è ridotta ai minimi termini). Elevando tutto al cubo otteniamo $ $2p^3=q^3$ $
qui hai già finito. la max potenza di 2 che divide il lato destro è multipla di 3, quella che divide il lato sinistro no.
Inviato: 09 giu 2008, 13:02
da Alex90
fede90 ha scritto:cioè che $ $\sqrt[3]2=\frac{p}{q}$ $ (con q che non divide p, cioè la frazione p/q è ridotta ai minimi termini). Elevando tutto al cubo otteniamo $ $2p^3=q^3$ $ perciò q deve essere pari. Poniamo $ $q=2q'$ $. Sostituendo si ottiene $ $p^3=4q'^3$ $. Da qui otteniamo che p deve essere pari, perciò $ $p=2p' $. Sostituendo si ottiene $ $2p'^3=q'^3$ $, da cui $ $\sqrt[3]2=\frac{p'}{q'}$ $, assurdo perchè avevamo supposto che p/q era ridotta ai minimi termini.
Solo una precisazione...hai invertito p e q...ai fini della dimostrazione non cambia niente giusto per fartelo notare che spesso anch'io faccio errori stupidi come questi
Inviato: 09 giu 2008, 14:07
da fede90
Corretto, grazie