Inviato: 12 giu 2008, 23:56
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a+1) \geq (a+1)(b+1)(c+1) $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq abc + ab + bc + ca + a + b + 1 $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq \frac{abc + ab + bc + ca + a + b + 1}{abc} $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq 1+ ab + bc + ca + a + b + c + 1 $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a) \geq ab + bc + ca + a + b + c $
Adesso "spezziamola"
$ \displaystyle a^2b+b^2c+c^2a \geq ab + bc + ca $ e $ \displaystyle a^2b+b^2c+c^2a \geq a + b + c $
Ancora Cauchy Schwarz
$ \left (a+b+c \right )^2 = \displaystyle \left ( \sum_{cyc} \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}} \right)^2 $ $ \displaystyle \le \left (a^2b+b^2c+c^2a\right ) \left (\frac1a + \frac1b + \frac1c \right ) $
Dimostriamo quindi che
$ \displaystyle \frac{\left (a+b+c \right )^2}{ \left (\frac1a + \frac1b + \frac1c \right )} \ge a+b+c $ $ \Rightarrow \displaystyle a+b+c \ge ab + bc + ca $
$ \displaystyle a+b+c \ge \frac {ab + bc + ca}{abc} $
Sia $ \sigma_1 = \displaystyle \frac{a+b+c}{3} $ e $ \sigma_2 = \displaystyle \frac{ab+bc+ca}{3} $ e $ \sigma_3 = abc $
$ \displaystyle \sigma_1 \ge \frac{\sigma_2}{\sigma_3} $
Per la disuguaglianza di Newton $ \displaystyle {\sigma_2}^2 \ge \sigma_1 \cdot \sigma_3 $
Se moltiplichiamo queste ultime 2 otteniamo con qualche semplificazione che $ \sigma_2 \ge 1 \Rightarrow \sigma_2 \ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2} $ che è vera per $ AM \ge GM $
Spero che la dimostrazione sia comprensibile...datemi qualche consiglio magari per migliorare
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq abc + ab + bc + ca + a + b + 1 $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq \frac{abc + ab + bc + ca + a + b + 1}{abc} $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a)+2 \geq 1+ ab + bc + ca + a + b + c + 1 $
$ \displaystyle 2(a^2b+b^2c+c^2a) \geq ab + bc + ca + a + b + c $
Adesso "spezziamola"
$ \displaystyle a^2b+b^2c+c^2a \geq ab + bc + ca $ e $ \displaystyle a^2b+b^2c+c^2a \geq a + b + c $
Ancora Cauchy Schwarz
$ \left (a+b+c \right )^2 = \displaystyle \left ( \sum_{cyc} \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b}} \right)^2 $ $ \displaystyle \le \left (a^2b+b^2c+c^2a\right ) \left (\frac1a + \frac1b + \frac1c \right ) $
Dimostriamo quindi che
$ \displaystyle \frac{\left (a+b+c \right )^2}{ \left (\frac1a + \frac1b + \frac1c \right )} \ge a+b+c $ $ \Rightarrow \displaystyle a+b+c \ge ab + bc + ca $
$ \displaystyle a+b+c \ge \frac {ab + bc + ca}{abc} $
Sia $ \sigma_1 = \displaystyle \frac{a+b+c}{3} $ e $ \sigma_2 = \displaystyle \frac{ab+bc+ca}{3} $ e $ \sigma_3 = abc $
$ \displaystyle \sigma_1 \ge \frac{\sigma_2}{\sigma_3} $
Per la disuguaglianza di Newton $ \displaystyle {\sigma_2}^2 \ge \sigma_1 \cdot \sigma_3 $
Se moltiplichiamo queste ultime 2 otteniamo con qualche semplificazione che $ \sigma_2 \ge 1 \Rightarrow \sigma_2 \ge \sqrt[3]{a^2b^2c^2} $ che è vera per $ AM \ge GM $
Spero che la dimostrazione sia comprensibile...datemi qualche consiglio magari per migliorare