9 punti in Z^3

[matteo16]

ah sì certo capito grazie

[matteo16]

[...]Ora, puoi fare 8 stringhe da 3 con i simboli P e D, ma hai nove punti, quindi hai una stringa che è associata a due punti.[..]
PS: Gli 0 e gli 1 prendono il posto dei P e dei D, se si usa la riduzione modulo 2 delle coordinate, che è un modo complicato per dire che si guarda se sono pari o dispari.

PPS: non si dice "lattice" ... lattice in inglese vuol dire reticolo ... lattice point vuol dire punto del reticolo... i punti a coordinate intere formano quello che si chiama $ \mathbb{Z} $-reticolo o reticolo intero o reticolo dei punti a coordinate intere (ma va?).

il fatto che con nove punti ad una stringa corrispondano 2 punti è per il pgeonhole giusto?

per quanto riguarda la riduzione delle coordinate modulo 2, adesos l'ho capita
2n congruo 0 mod 2
2n+1 congruo 1 mod 2
come ho fatto a non pensarci prima

quindi si generalizza mod 2(per la prima richiesta ovvero che la differenza delle coordinate di due punti sia pari)
poi si vede che le possibili stringhe sono ovviamente 2^3=8 e infine per il pigeonhole si vede che con 9 punti ad una stessa stringa corrispondono 2 numeri la cui differenza delle coordinate è pari

ho capito giusto?

mi è venuto in mente l'indipendenza lineare.
non si potrebbe sfruttare questo fatto?
si possono considerare tutti i possibili vettori linearmente indipendenti composti da 1 e da 0
e poi si dice che il nono dovrà essere per forza combinazione lineare di altri.

[Anér]

In realtà basta che le tre differenze delle coordinate non siano prime tra loro, ovvero che $ M.C.D.\{ x_A-x_B ; y_A-y_B ; z_A-z_B \}>1 $ affinché ci sia almeno un punto lattice sul segmento AB, esclusi A e B. In particolare, ce ne sono $ M.C.D.-1 $ (mi pare).

[Carlein]

Allora sicuramente ogni divisore comune va bene: quindi è almeno $ \tau MCD -1 $(che era quello che avevo immaginato di primo acchito stoltamente) Ma per ogni divisore va bene anche la frazione in cui compare il divisore al numeratore e al den un coprimo con esso e minore di esso(ed è chiaro che così finiamo tutti i casi possibili) dunque il numero è $ \sum_{d|n}\phi(d) $ che è noto sia n ovvero il MCD a cui togliamo 1...scusa se prima ti ho contraddetto, ma nn avevo riflettuto bene prima di rispondere...

[Desh]

quello che si chiama $ \mathbb{Z} $-reticolo

Scusate l'OT, ma c'entra qualcosa con i meganoidi?

[fph]

quello che si chiama $ \mathbb{Z} $-reticolo

Scusate l'OT, ma c'entra qualcosa con i meganoidi?

Mi ero posto anch'io la stessa domanda in passato... però la [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_Reticuli]Zeta Reticoli[/tex] di cui parlano i meganoidi (sbagliando lo spelling, credo) è la stella da cui vengono gli alieni brutti e cattivi di Daitarn III.

[giggiotb]

Mah,a me sembra molto facile..Basta considerare il punto medio del segmento ke unisce due qualsiasi di questi due punti:dati due punti di coordinate A= (xA,yA,zA) e B=(xB,yB,zB),le coordinate del punto medio del segmento aventi per estremi questi due punti sono:
Xm=(xA+xB)/2 e così via per le altre dimensioni..
è facile intuire che questo punto è a coordinate intere se xA e xB hanno la stessa parità e così via..
Dato ke le coordinate dei punti sn tre e ognuna di queste può essere pari o dispari ci saranno 2*2*2=8 possibili configurazioni diverse di parità delle coordinate.Dato che i punti sono 9 ce ne sono per forza almeno due ke hanno la parità delle tre coordinate uguale,per cui il punto medio del segmento ke individuano è a coordinate intere..si può generalizzare il problema a n dimensioni.. ciao!