Doppia diofantea

[matteo16]

ragionando mod 3 si ha che

$ 2x^2 \equiv y^2 \equiv 1 (mod{3}) $

quindi si ha 1-1=1 0=1 modulo 3

ciò è impossibile
quindi la seconda equazione non ha soluzioni intere

[Pigkappa]

Io non riesco a capirti. L'ho appena risolto (spero correttamente), ho appena dimostrato che ci sono soluzioni (x=5 e y = 7 danno 2x²-y² = 50 - 49 = 1). Perchè dopo 6 minuti fai un post di due righe per dimostrare che non ci sono soluzioni affermando che deve essere $ \displaystyle 2x^2 \equiv y^2 \pmod{3} $, cosa che non giustifichi e che peraltro è falsa?



[Chiedo perdono, non immaginavo che matteo16 stesse già scrivendo quando ho postato]

[matteo16]

Io non riesco a capirti. L'ho appena risolto (spero correttamente), ho appena dimostrato che ci sono soluzioni (x=5 e y = 7 danno 2x²-y² = 50 - 49 = 1). Perchè dopo 6 minuti fai un post di due righe per dimostrare che non ci sono soluzioni affermando che deve essere $ \displaystyle 2x^2 \equiv y^2 \pmod{3} $, cosa che non giustifichi e che peraltro è falsa?

e secondo te, se io avessi saputo che tu stavi postando, avrei postato la cosa che ho postato??? visto che quando ho iniziato a scrivere non c'era ancora nessun tuo post dopo quello di fede90...
certo la mia è sbagliata, adesso la controllo, basta avere solo un attimo di pazienza... spero che adesso abbia capito

[Alex90]

L'errore comunque sta nel fatto che $ $ \pmod 3 $ $ i quadrati possono essere congrui a 0 o a 1, da cui si nota subito che nè x nè y possono essere multipli di 3

[matteo16]

L'errore comunque sta nel fatto che $ $ \pmod 3 $ $ i quadrati possono essere congrui a 0 o a 1, da cui si nota subito che nè x nè y possono essere multipli di 3

sì lo so la mia è stata una conclusione affrettata

[Jacobi]

la seconda si puo risolvere + semplicemente applicando la seguente trasformazione:

$ \begin{array}{cc}{x=u+v \\ y=u+2v}\end{array} $

cosi ke l'equazione data viene ricondotta alla prima diofantea ( ke si risolve semplicemnte in quanto e una equazione di pell )

[Stradh]

la prima è un equazione di Pell e quindi ha infinite soluzioni.
quindi le soluzioni del sistema coincidono con quelle della seconda equazione

Tutte e due le equazioni sono delle equazioni di Pell!!!

[matteo16]

mi spieghereste i passaggi della seconda diofantea per capire che è un'equazione di Pell?

[Algebert]

Penso siano i seguenti:

$ $2x^2 - y^2 = 1$ $

$ $2(u + v)^2 - (u + 2v)^2 = 1$ $

$ $2u^2 + 2v^2 + 4uv - u^2 - 4v^2 - 4uv = 1$ $

$ $u^2 - 2v^2 = 1$ $

ed arriviamo ad un'altra equazione di Pell .

[matteo16]

Penso siano i seguenti:

$ $2x^2 - y^2 = 1$ $

$ $2(u + v)^2 - (u + 2v)^2 = 1$ $

$ $2u^2 + 2v^2 + 4uv - u^2 - 4v^2 - 4uv = 1$ $

$ $u^2 - 2v^2 = 1$ $

ed arriviamo ad un'altra equazione di Pell .

ah ok grazie mille