OliForum Matematico

julio14 ha scritto:Soluzione portata da casa (suona ridicolo per un contest fatto a casa...(l'ultima volta che ho portato da casa una soluzione, ho preso uno granchio tremendo... speriamo di non ripetere la performance))

Per comodità traslo tutto in B={1,2,....2193}
A questo punto prendo tutti i numeri dell'insieme che in base 3 hanno solo cifre 1 e 0, si dimostra banalmente che non possono essere in progressione aritmetica e li si contano, e toh, viene fuori 132, più che sufficiente.

volevo risolverlo anche io così ma mi sembrava troppo rubata come soluzione... btw è un metodo abbastanza potente

Algebert l'ho scritto nel testo, l'n-esimo numero triangolare è la somma dei numeri da 1 a n..

jordan ha scritto:Algebert l'ho scritto nel testo, l'n-esimo numero triangolare è la somma dei numeri da 1 a n..

Giusto, che sbadato .

julio14 ha scritto:A questo punto prendo tutti i numeri dell'insieme che in base 3 hanno solo cifre 1 e 0, si dimostra banalmente che non possono essere in progressione aritmetica e li si contano, e toh, viene fuori 132, più che sufficiente.

Aspetta un momento, scrivo qui la mia dimostrazione parziale.
Consideriamo la successione $ $2008,2009,2011,2014,2018,2023, \dots$ $. Essa è della forma $ $a_n = a_{n - 1} + (n - 1)$ $ ovvero $ $a_n = a_1 + (n - 1) + (n - 2) + \dots 1 = a_1 + \frac{n(n - 1)}{2}$ $, con $ $a_1 = 2008$ $ e $ $n \in \mathbb{N^*}$ $ (si dimostra facilmente telescopizzando). Chiaramente, nessuna terna di numeri presi da questa successione è in progressione aritmetica.
Affinchè gli $ $a_i$ $ (con $ $i = 1, 2, \dots, n$ $) possano appartenere a $ $S$ $ devono essere verificate le condizioni:

$ $\left \{\begin{array}{ll} n > 0 \\ 2008 + \frac{n(n - 1)}{2} < 4200 \end{array} \right.$ $

da cui si ottiene $ $0 < n \leq 66$ $.
Ora, a te viene 132, che è esattamente il doppio di 66. E' un caso ?

Algebert ha scritto:Chiaramente, nessuna terna di numeri presi da questa successione è in progressione aritmetica.

ok, fammi vedere se è tanto chiara

vi dico la mia idea che so già essere sbagliata ma almeno mi dite dove.

l'idea mia era quella di vedere quante erano le possibili terne che si potevano ottenere da quell'insieme. successivamente calcolare quante terne tra quelle erano in successione aritmetica ed escluderle dal numero totale. alla fine sarebbe stato solo il conteggio degli elmenti di quelle terne...ma non ne sono convinto neanche io...perchè se alla fine si avessero tutte terne non in successione aritmetica, gli elementi sarebbero stati un multiplo di tre ma 5^3 non è un multiplo di tre.

non so se avete capito...

@Algebert 2008,2011,2014 sono in progressione...
@matteo16 per il multiplo, non importa, io ho trovato 132 numeri e non 125, basta che sia maggiore o uguale. Comunque la vedo dura poi a partire dalle terne rimaste risalire ai numeri rimasti: primo perché sono rimasti tutti, perché tutti appartengono almeno ad una terna non in progressione, e poi perché numeri diversi si ripetono un numero di volte diverso e difficilmente calcolabile in generale.

Questo è più sottile: si provi (o si provi che non è vero ) che comunque presi 129 interi tra i primi 2008 (zero escluso), 3 di questi sono in successione aritmetica.