OliForum Matematico

julio14 ha scritto:Per il caso generale [...]

Potresti formalizzare per bene tutto quanto? La dimostrazione che ho io è diversa, poi semmai la metto.

julio14 ha scritto:Dal basso della mia ignoranza, avendo appena guardato su wiki tutti i link della nota culturale, avrei una domanda: cosa ci assicura che f sia una contrazione?

Beh, se $ (X,d) $ è uno spazio metrico, $ f : X \to X $ è una contrazione se esiste $ $\alpha \in (0,1) $ tale che $ d(f(x), f(y)) \leq \alpha d(x,y) $ per ogni $ x,y \in X $. Se $ X =\mathbb R $, riscrivi come: $ |f(x) - f(y)| \leq \alpha|x-y| $. Se non mi sbaglio, supponendo $ f \in C^1(\mathbb R) $ (o basterà solo derivabile? forse basta derivabile), si può tradurre quella proprietà in una proprietà di limitatezza per la derivata prima, tipo $ |f'(x)| \leq \alpha $ per ogni $ x \in \mathbb R $. Se vuoi, vedi anche le funzioni lipschitziane.

Ani-sama ha scritto:

julio14 ha scritto:Per il caso generale [...]

Potresti formalizzare per bene tutto quanto? La dimostrazione che ho io è diversa, poi semmai la metto.

Ok, me la prendo come scusa morale per fare una pausa dal folle studio di storia per l'interrogazione di domani
Sia $ $a_0 $ l'unico punto fisso di $ $f^m $. Chiamo $ $a_n=f^{n}(a_0) $. Essendo $ $a_m=a_0 $, risulta ovvio che $ $i\equiv j\pmod m\Rightarrow a_i=a_j $ (in pratica si forma un ciclo). Ma allora se $ $a_0 $ non fosse punto fisso di $ $f $, avremmo che $ $1\equiv m+1\pmod m\Rightarrow a_1=a_{m+1}\Leftrightarrow a_1=f^{m+1}(a_0)=f^m(f(a_0))=f^m(a_1) $ quindi $ $a_1 $ sarebbe punto fisso, assurdo. Segue che $ $a_1=a_0 $, quindi $ $a_0 $ è punto fisso.

Ora la simpatica generalizzazione. Quanto detto per $ $a_1 $ è ovviamente vero per qualunque altro $ $a_i $ con $ $0\le i<m $ (a dire il vero la restrizione è superflua... la metto per non complicarmi la vita). Questo vuol dire che ogni $ $a_i $ è punto fisso di $ $f^m $, solo che è possibile che il ciclo da 0 a m-1 si sia ripetuto (se m=6, possiamo avere $ $(a_0,\dots,a_5);(a_0,a_1,a_2,a_0,a_1,a_2);(a_0,a_1,a_0,a_1,a_0,a_1);(a_0,\dots,a_0) $). In ogni caso, però, il numero degli $ $a_i $ distinti è divisore di m. Segue che il numero $ $k $ di punti fissi di $ $f^m $ è uguale una certa somma di divisori di m, dove a ogni divisore $ $d $ corrisponde un ciclo di lunghezza $ $d $ a cui appartengono $ $d $ $ $a_i $ distinti (ovviamente i cicli sono completamente disgiunti). Ora, se un certo $ $b $ è punto fisso di $ $f $ allora è anche punto fisso di $ $f^m $ e ovviamente in $ $f^m $ genera m sottocicli di lunghezza 1. Viceversa, se $ $b $ è un punto fisso di $ $f^m $ che genera sottocicli di lunghezza 1, allora è punto fisso di $ $f $. Questo vuol dire che nella somma di divisori di m che genera $ $k $ ad ogni divisore 1 corrisponde un punto fisso di $ $f $, e per tutti gli altri divisori non ci sono punti fissi di $ $f $. Segue che se $ $f^m $ ha $ $k $ punti fissi, allora $ $f $ avrà $ $k-s $ punti fissi, dove $ $s\le k $ è una somma di divisori di $ $m $ diversi da 1.

La dimostrazione che conosco io è la seguente:

1) Esistenza. Si può usare il trucchetto seguente: $ f(f^m(x)) = f^m(f(x)) = f(x) $, se $ x $ è il punto fisso di $ f^m $. Ma $ f^m(f(x)) = f(x) $ dice che anche $ f(x) $ è fisso per $ f^m $, e per unicità si ha $ f(x)=x $. Carino no?
2) Unicità. Se $ f $ ammette due punti fissi, $ x $ e $ y $, allora si vede subito (iterando) che $ x $ e $ y $ sono fissi per $ f^m $, da cui $ x=y $ per unicità.

Per inciso, che differenza c'è fra spazio metrico completo e compatto? Su Wikipedia dice che il secondo è più debole, ma non mi è chiara la differenza.
Grazie in anticipo.

Se leggi le mie sono sostanzialmente uguali alle tue, solo che io mi sono dilungato di più in notazioni anche per la dimostrazione della generalizzazione dopo. Certo che scritta così con solo le cose essenziali fa molta più scena

FeddyStra ha scritto:Per inciso, che differenza c'è fra spazio metrico completo e compatto? Su Wikipedia dice che il secondo è più debole, ma non mi è chiara la differenza.
Grazie in anticipo.

No, non sono proprietà direttamente correlate, direi. La completezza è, per definizione: "ogni successione di Cauchy converge". Uno spazio compatto (per successioni) è tale che ogni successione ammette una sottosuccessione convergente ad un punto di quello spazio.

Ogni spazio metrico compatto è completo

mitchan88 ha scritto:Ogni spazio metrico compatto è completo

Giuro che di questa cosa non mi ricordavo. Anzi, molto probabilmente non l'ho nemmeno mai vista direttamente. Vabeh... comunque in linea di massima topologicamente si tratta di due proprietà ben distinte. (mi salvo in corner, forse? )

EDIT
Nemmeno, perché la nozione di completezza si dà per spazi metrici, che io sappia, e non in generale per spazi topologici. Bah, vado a nascondermi.

Se ti senti bourbakista puoi dare una definizione di completezza anche in assenza una metrica, usando gli entourages.
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_space