OliForum Matematico

in questo modo dimostra che non può essere suriettiva.....per quel che riguarda l'iniettività credo possa esistere comunque.....
Ad esempio la funzione $ f:\mathbb N \rightarrow\mathbb N $ tale che $ f(n)=2n $ pur raggiungendo solo i numeri pari che ovviamente sono un sottoinsieme di $ \mathbb N $ è iniettiva

dario2994 ha scritto:Non capisco una cosa Skz... ma quella che hai postato è una dimostrazione di impossibilità??? Mi pare di aver capito che tu dimostri che non è biettiva dato che la cardinalità dei reali è maggiore di quella dei reali positivi???
È molto probabile che abbia detto un'immane cazzata... mi potete spiegare se la non biunivocità si può basare anche su diverse cardinalità infinite...

Beh, sì è una "dimostrazione di impossibilità", ma direi che hai frainteso: quello che vuole dire SkZ è che ogni reale $ y $ si può scrivere come $ 2x-1 $ (in particolare, ponendo $ x=\frac{y+1}{2} $); perciò l'equazione di jordan chiede al contempo che $ f $ sia bigettiva (e quindi suriettiva) e che l'immagine di ogni reale sia maggiore o uguale al quadrato di qualcosa più 1/4, quindi sia positiva. Perciò la funzione dovrebbe (per suriettività), ma non può (perché è positiva), assumere tutti i valori reali negativi, assurdo.

Qui la cardinalità non c'entra e non può entrarci, perché i reali e i reali positivi hanno la stessa cardinalità! La prima funzione bigettiva fra i due che mi viene in mente è per esempio $ e^x $. Per quanto riguarda la tua ultima domanda... beh, temo che dire, ad esempio, "non esistono funzioni bigettive fra i naturali e i reali perché i due insiemi hanno cardinalità diverse" sarebbe un po' mordersi la coda: due insiemi si definiscono di cardinalità diversa proprio se non esistono funzioni bigettive fra l'uno e l'altro.

Capito in pieno... avevo detto una cazzata xD