Coff... coff... $ \displaystyle~n=39 $... 
somma di cifre divisibile per 11
Sia f(x) la somma delle cifre di x. Una cosa che osserviamo subito è che se $ \displaystyle~10\nmid x+1 $ allora $ \displaystyle~f(x+1)=f(x)+1 $, da cui che non può essere $ \displaystyle~f(x)=f(x+1)=f(x+2) $ e nemmeno $ \displaystyle~f(x)\equiv f(x+1)\equiv f(x+2)\pmod {11} $
Inoltre abbiamo che $ \displaystyle~f(10x)=f(x) $.
Consideriamo un insieme che non contiene numeri belli. Parleremo di decine complete quando, per un certo z (che chiameremo "capostipite"), $ \displaystyle~\forall~10z\le v\le 10z+9 $ v appartiene al nostro insieme di numeri. È evidente che deve essere $ \displaystyle~f(10z)\equiv1\pmod{11} $ (altrimenti sarebbe $ \displaystyle~f(v_s)=f(v_t) $ per certi s, t, assurdo perché $ \displaystyle~f(v_i) $ forma una successione crescente, per quanto detto prima).
Se ci fosse un insieme di 40 naturali consecutivi "brutti" esso avrebbe 4 numeri divisibili per 10. Indichiamo con $ \displaystyle~10k $ il primo di questi. Abbiamo che k, k+1 e k+2 (non necessariamente anche $ \displaystyle~k+3 $) sono i capostipiti di 3 decine complete, quindi $ \displaystyle~f(10k)\equiv f[10(k+1)]\equiv f[10(k+2)] $ e $ \displaystyle~f(k)\equiv f(k+1)\equiv f(k+2) $, assurdo per quanto detto prima. Quindi $ \displaystyle~n\le 40 $.
Ma anche se esistessero 39 numeri "brutti" avremmo 3 decine complete, quindi come sopra abbiamo $ \displaystyle~n\le 39 $. Cerchiamo di trovare un insieme di 38 numeri "brutti" così siamo a posto... Questo insieme avrà almeno 2 decine complete, la prima di capostipite $ \displaystyle~a_1 $. Dobbiamo perciò avere $ \displaystyle~f(10a_1)\equiv f[10(a_1+1)]\Rightarrow f(a_1)=f(a_1+1) $. Per quanto osservato prima sarà $ \displaystyle~a_1=10a_2+9 $, per qualche $ \displaystyle~a_2 $, da cui $ \displaystyle~f(10a_2+9)=f(10a_2)+9=f(a_2)+9 $$ \displaystyle~\equiv f(10a_2+9+1)=f[10(a_2+1)]=f(a_2+1) $$ \displaystyle~\Rightarrow f(a_2)\equiv f(a_2+1)+2 $. Anche qui deve essere $ \displaystyle~a_2=10a_3+9 $ e continuando a sostituire continuiamo ad avere cifre di $ \displaystyle~a_1 $ tutte = 9. Quando potremo smettere? Cerchiamo il più piccolo $ \displaystyle~a_1 $ che abbia solo cifre 9 (poniamo r cifre). Deve essere $ \displaystyle~f(a_1)=9r\equiv 1\pmod {11}\Rightarrow r\equiv 5\pmod {11} $. Proviamo r = 5. Notiamo che 99999 e 100000 sono capostipiti di decine complete. Per avere 38 numeri "brutti" il primo deve essere $ \displaystyle~\equiv1\pmod{10} $, e fortunatamente 999981 va bene. Da 999981 a 1000018 abbiamo solo numeri "brutti", quindi effettivamente c'è almeno un insieme (questo) di 38 numeri non belli. Deve per forza essere $ \displaystyle~n = 39 $.
(Quest'ultima parte (confusissima ) era solo per far capire come sono arrivato a un insieme che impone 39 come necessario). Correggete imprecisioni/cose poco chiare... Quando scrivo soluzioni a quest'ora, sembrano un delirio
Inoltre abbiamo che $ \displaystyle~f(10x)=f(x) $.
Consideriamo un insieme che non contiene numeri belli. Parleremo di decine complete quando, per un certo z (che chiameremo "capostipite"), $ \displaystyle~\forall~10z\le v\le 10z+9 $ v appartiene al nostro insieme di numeri. È evidente che deve essere $ \displaystyle~f(10z)\equiv1\pmod{11} $ (altrimenti sarebbe $ \displaystyle~f(v_s)=f(v_t) $ per certi s, t, assurdo perché $ \displaystyle~f(v_i) $ forma una successione crescente, per quanto detto prima).
Se ci fosse un insieme di 40 naturali consecutivi "brutti" esso avrebbe 4 numeri divisibili per 10. Indichiamo con $ \displaystyle~10k $ il primo di questi. Abbiamo che k, k+1 e k+2 (non necessariamente anche $ \displaystyle~k+3 $) sono i capostipiti di 3 decine complete, quindi $ \displaystyle~f(10k)\equiv f[10(k+1)]\equiv f[10(k+2)] $ e $ \displaystyle~f(k)\equiv f(k+1)\equiv f(k+2) $, assurdo per quanto detto prima. Quindi $ \displaystyle~n\le 40 $.
Ma anche se esistessero 39 numeri "brutti" avremmo 3 decine complete, quindi come sopra abbiamo $ \displaystyle~n\le 39 $. Cerchiamo di trovare un insieme di 38 numeri "brutti" così siamo a posto... Questo insieme avrà almeno 2 decine complete, la prima di capostipite $ \displaystyle~a_1 $. Dobbiamo perciò avere $ \displaystyle~f(10a_1)\equiv f[10(a_1+1)]\Rightarrow f(a_1)=f(a_1+1) $. Per quanto osservato prima sarà $ \displaystyle~a_1=10a_2+9 $, per qualche $ \displaystyle~a_2 $, da cui $ \displaystyle~f(10a_2+9)=f(10a_2)+9=f(a_2)+9 $$ \displaystyle~\equiv f(10a_2+9+1)=f[10(a_2+1)]=f(a_2+1) $$ \displaystyle~\Rightarrow f(a_2)\equiv f(a_2+1)+2 $. Anche qui deve essere $ \displaystyle~a_2=10a_3+9 $ e continuando a sostituire continuiamo ad avere cifre di $ \displaystyle~a_1 $ tutte = 9. Quando potremo smettere? Cerchiamo il più piccolo $ \displaystyle~a_1 $ che abbia solo cifre 9 (poniamo r cifre). Deve essere $ \displaystyle~f(a_1)=9r\equiv 1\pmod {11}\Rightarrow r\equiv 5\pmod {11} $. Proviamo r = 5. Notiamo che 99999 e 100000 sono capostipiti di decine complete. Per avere 38 numeri "brutti" il primo deve essere $ \displaystyle~\equiv1\pmod{10} $, e fortunatamente 999981 va bene. Da 999981 a 1000018 abbiamo solo numeri "brutti", quindi effettivamente c'è almeno un insieme (questo) di 38 numeri non belli. Deve per forza essere $ \displaystyle~n = 39 $.
(Quest'ultima parte (confusissima
) era solo per far capire come sono arrivato a un insieme che impone 39 come necessario). Correggete imprecisioni/cose poco chiare... Quando scrivo soluzioni a quest'ora, sembrano un delirio Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
