OliForum Matematico

L'ordine è quello ovvio, ora però ho corretto la tesi...

Come mi ha fatto notare FeddyStra l'altro giorno, è carino anche dimostrare che effettivamente con le tre mediane si può formare un triangolo, qualcuno vuole provare?

Molto recentemente, qui

Ops, la prossima volta farò più attenzione

non ho letto tutte le risposte e non so se qualcuno l'ha già scritto,comunque è possibile costruire $ T_2 $ in modo che i suoi lati risultino simultaneamente non solo congruenti,ma anche paralleli alle mediane di $ T_1 $. La cosa sorprendente è che funziona con qualsiasi triangolo!!!

ma quindi come si risolve il problema?

Quale?

gibo92 ha scritto:ma quindi come si risolve il problema?

La mia soluzione è questa (spero di riuscirmi a spiegare xk non riesco a postare l'immagine):

Detti $ A,B,C $ i vertici di $ T_1 $, siano $ X,Y,Z $ rispettivamente i punti medi dei lati opposti. Costruito il parallelogramma $ PBZC $, si noti che $ AXPY $ risulta anch'esso un parallelogramma. Da questa costruzione segue $ PB \cong CZ $ e $ PY \cong AX $. Deduciamo immediatamente che $ T_2 $ è proprio il triangolo $ BPY $ (che tra l'altro è costruito su una mediana di $ T_1 $). Ora definiamo $ Q=PY \cap BC $ e osserviamo che, essendo $ PY $ e $ AX $ paralleli, i triangoli $ ACX $ e $ CQY $ risultano simili e con un rapporto di similitudine pari a 2 ($ AC/CY=2 $).
Ne consegue che:
- $ AX=2QY \Rightarrow $ $ Q $ è il punto medio di $ PY \Rightarrow $ $ PBQ $ e $ BQY $ sono equivalenti. (1)
- $ CQ=CX/2=BC/4 \Rightarrow $ $ BQ=3CQ \Rightarrow $ l'area di $ BQY $ è il triplo di quella di $ CQY $. (2)

Ora chiamiamo $ S $ l'area di $ T_1 $. Dato che una mediana divide un triangolo in due parti equivalenti, avremo $ A(BCY)=S/2 $. Riprendendo la (2) si trova $ A(BQY)=3S/8 $. Ora, per la (1), abbiamo $ A(T_2)=2 \cdot A(BQY)=2 \cdot 3S/8=3S/4 $. C.V.D.