Domande su una funzione

[dario2994]

Alur... ho capito a pieno la soluzione di Skz... peccato che non sia esatta... nelle soluzioni c'è anche f(x)=-x-7
Leggendo la tua soluzione non riesco proprio a capire l'errore però... se qualcuno mi illumina.
Tibor... assumendo che io riesca ad arrivare fino a dove dici (non ci riesco) da lì come si conclude???
Mi scuso per la mia completa ignoranza in materia... ma è praticamente la prima funzionale che affronto...

[fph]

Ti consiglio di cominciare studiandoti un attimo lo "short essay on functional equations" su http://fph.altervista.org/oli/index.html (tranquillo, è in italiano). Dovrebbe chiarirti diverse cose su come si affrontano questo tipo di problemi.

[SkZ]

Alur... ho capito a pieno la soluzione di Skz... peccato che non sia esatta... nelle soluzioni c'è anche f(x)=-x-7

come fatto da notare da tibor non e' una soluzione, solo una proprieta'
E' una soluzione se dimostri che tutti i punti del dominio sono esprimibili come $ ~x+f(x) $, ovvero che $ ~g(x)=x+f(x) $ e' suriettiva

[Tibor Gallai]

Ah, siete qua in Algebra, pensavate di sfuggirmi...

L'equivoco era questo:
se fai una sostituzione del tipo z=qualcosa(x), ottenendo una nuova equazione funzionale in z (più eventualmente y, etc), devi tenere conto del "campo d'esistenza" di z. Non sempre z varia su tutto il dominio di f, ma può variare soltanto sull'immagine di qualcosa(x).
Nell'esempio, l'immagine di x+f(x) non sono necessariamente tutti i razionali, e d'altronde (come tu m'insegni) la somma di due funzioni surgettive non sempre è surgettiva... La dimostrazione che questo è davvero un caso d'errore sta proprio nel fatto che -x-7 è soluzione dell'equazione originaria, ma non è soluzione dell'equazione in z, come hai già notato.
Riassumendo, tu fai una sostituzione e ti ritrovi con un'attraente f(z)=z+7. Questa vale precisamente sul campo d'esistenza di z, il quale dipende da come è stata definita z.
Se per esempio tu sapessi che f(-7)=0 (come in effetti sai con un paio di sostituzioni), potresti fare questo giochino: poni z=-7, e per magia trovi subito f(z)=z+7. O anche f(z)=0, quindi f è identicamente nulla (??). E' più chiaro che questo sia un errore?

Adesso che mi sovviene, forse questa era anche la domanda di Maioc92.

Tornando al problema, per arrivare all'equazione $ f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y) $ basta qualche sostituzione+smanettamento. Ti dico come l'ho ricavata io, ma è possibile che non abbia seguito la strada più semplice.

Si parte da $ f(x+f(y))=f(x)+y+7 $.

$ x:=0,\ y:=x \ \leadsto\ f(f(x))=x+f(0)+7 $

$ y:=0\ \leadsto\ f(x+f(0))=f(x)+7 $

E queste le sapevamo. Poi puoi considerare $ f(f(f(x))) $, che per associatività è uguale a 2 cose:

$ f(x+7)+7 = f(x+7+f(0))= f(f(f(x))) = f(x)+f(0)+7 $

da cui $ f(x+7)=f(x)+f(0) $.

$ y:=f(z)\ \leadsto\ f(x+f(f(z)))=f(x)+f(z)+7 $

da cui finalmente $ f(x+z)+f(0)=f(x)+f(z) $, usando le 3 equazioni trovate prima.

Perché l'ultima sostituzione y:=f(z) ha senso? Perché sappiamo che f è surgettiva (discorso di prima), quindi per ogni y esiste uno z adatto che rende possibile la sostituzione. Qual è il campo d'esistenza di z? Tutto Q, perché qualunque sia z, f(z) è razionale, e y varia su tutti i razionali.

Quindi effettivamente abbiamo un'equazione simil-Cauchy per ogni x e y razionali:

$ f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y) $

Che si fa? Ci sono 2 modi. O si procede a mano adattando la dimostrazione di Cauchy a questo caso generalizzato, oppure si rende l'equazione in forma di Cauchy, introducendo g(x):

$ f(x):=g(x)+f(0)\ \leadsto\ g(x+y)=g(x)+g(y) $

g è una funzione da Q a Q? Sì, perché g(x)=f(x)-f(0). L'equazione vale per ogni x e y razionali? Sì, perché non abbiamo toccato le variabili, solo le funzioni...

Questa è di Cauchy standard, e per la teoria sappiamo allora che

$ g(x)=g(1)x $

da cui $ f(x)=g(1)x+f(0) $

Quali sono i possibili valori per g(1) e f(0)? Sostituiamo nell'equazione di partenza:

$ f(x):=ax+b\ \leadsto\ (a^2-1)y=7-ab $

Questa deve valere per ogni y razionale, e la liquidiamo con 2 sostituzioni:

$ y:=0\ \leadsto\ ab=7 $

$ y:=1\ \leadsto\ a^2=1 $

Quindi $ a=\pm 1 $, $ b=\pm 7 $, e vissero tutti felici e contenti.

[Tibor Gallai]

Però è bello che abbia scritto la prima cosa da glossario e teoria di base ora che siamo in algebra. Sono intrinsecamente OT.

[Maioc92]

$ f(x):=g(x)+f(0)\ \leadsto\ g(x+y)=g(x)+g(y) $

g è una funzione da Q a Q? Sì, perché g(x)=f(x)-f(0). L'equazione vale per ogni x e y razionali? Sì, perché non abbiamo toccato le variabili, solo le funzioni...

In effetti la domanda non era posta benissimo, ma io intendevo sostituzioni di questo tipo. Quindi c'è da considerare caso per caso? Ad esempio in quali casi si può fare una sostituzione di questo tipo:
$ f(x)=g(x+k) $ dove $ k $ è una costante
???

[Tibor Gallai]

Puoi fare sempre tutte le sostituzioni che vuoi, purché abbiano un senso, e purché tu sia consapevole di quello che hai alla fine (nella fattispecie, i campi d'esistenza). E' la risposta migliore che ti riesca a dare.

Se dici f(x):=g(x+k), stai dicendo g(x)=f(x-k). In pratica stai solo traslando di k il campo d'esistenza di x (che è un nome un po' improprio che gli sto dando, ma è per capirci). Inoltre g è una composizione di funzioni, quindi è una funzione, e questo garantisce che l'espressione abbia senso.
Tieni presente che se il CDE di x era tutto R (risp. tutto Q) e k è reale (risp. razionale), non succede niente di brutto. Se il CDE era un intervallo, questo viene traslato; se invece era tutto Q e k è irrazionale, il CDE non sono più i razionali, ed in tal caso ad esempio i bei discorsi sulle equazioni di Cauchy non varrebbero più.
Etc etc.

Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.

[dario2994]

So che rompo i coglioni... ma mi sono deciso di concludere st'esercizio capendolo... altrimenti copierei direttamente quello che hai scritto xD
Allora... le cose che non ho capito sono questi 3 passaggi:

Poi puoi considerare $ f(f(f(x))) $, che per associatività è uguale a 2 cose:
$ f(x+7)+7 = f(x+7+f(0))= f(f(f(x))) = f(x)+f(0)+7 $

oppure si rende l'equazione in forma di Cauchy, introducendo g(x):
$ f(x):=g(x)+f(0)\ \leadsto\ g(x+y)=g(x)+g(y) $

Questa è di Cauchy standard, e per la teoria sappiamo allora che
$ g(x)=g(1)x $

Me li puoi spiegare tutti e 3... l'ultimo non lo so per mancanza di quella teoria... quindi basta che me la dici, il primo non l'ho capito e il secondo mi sembra perfino sbagliato xD Quindi schiariscimi le idee please xD

[FeddyStra]

1)
$ f(\ f(f(x))\ )=f(x+f(0)+7)=f((x+7)+f(0))=f(x+7)+7 $
$ f(f(\ f(x)\ ))=f(x)+f(0)+7 $

2)
$ f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y) $ e $ f(x)=g(x)+f(0) $, quindi
$ g(x+y)+f(0)+f(0)=g(x)+f(0)+g(y)+f(0) $, ovvero $ g(x+y)=g(x)+g(y) $

3)
Clik!

[Tibor Gallai]

Uh, grazie FeddyStra (anche per l'onore della firma! ). Confermo tutto, se ce ne fosse bisogno...
Per il (3), anche il link di fph è utilissimo, e forse spiegato meglio di wikipedia.

dario2994: come primo esercizio sulle funzionali è un po' tecnico, parti da qualcosa di più semplice.

[Maioc92]

Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.

In effetti quello in genere dovrebbe funzionare
Il fatto è che con le funzionali mi vengono sempre dei dubbi su quello che posso o non posso fare (anche se sto notando che dopo un po' la situazione migliora, anche se alcuni dubbi rimangono sempre).
Comunque grazie per la pazienza che hai avuto nella spiegazione, per quel che mi riguarda ho le idee un po' più chiare ora

[dario2994]

Perfetto grazie a tutti... sono riuscito a capire tutta la dimostrazione... ora non mi rimane che scriverla...
Comunque trovo che questo esercizio sia davvero difficile... ma forse mi sbaglio :|

[Maioc92]

Perfetto grazie a tutti... sono riuscito a capire tutta la dimostrazione... ora non mi rimane che scriverla...
Comunque trovo che questo esercizio sia davvero difficile... ma forse mi sbaglio

Personalmente quelli di algebra mi sono sembrati i più facili.....invece io non ci salto fuori col primo di geometria e col terzo di combinatoria

[Tibor Gallai]

Ah, ma era un esercizio da inviare per qualche stage? E io ve l'ho risolto passo per passo? Ma deh...

[pak-man]

Ah, ma era un esercizio da inviare per qualche stage? E io ve l'ho risolto passo per passo? Ma deh...

Tranquillo, era per lo stage dell'anno scorso