Ah, siete qua in Algebra, pensavate di sfuggirmi...
L'equivoco era questo:
se fai una sostituzione del tipo z=qualcosa(x), ottenendo una nuova equazione funzionale in z (più eventualmente y, etc), devi tenere conto del "campo d'esistenza" di z. Non sempre z varia su tutto il dominio di f, ma può variare soltanto sull'immagine di qualcosa(x).
Nell'esempio, l'immagine di x+f(x) non sono necessariamente tutti i razionali, e d'altronde (come tu m'insegni) la somma di due funzioni surgettive non sempre è surgettiva... La dimostrazione che questo è davvero un caso d'errore sta proprio nel fatto che -x-7 è soluzione dell'equazione originaria, ma non è soluzione dell'equazione in z, come hai già notato.
Riassumendo, tu fai una sostituzione e ti ritrovi con un'attraente f(z)=z+7. Questa vale precisamente sul campo d'esistenza di z, il quale dipende da come è stata definita z.
Se per esempio tu sapessi che f(-7)=0 (come in effetti sai con un paio di sostituzioni), potresti fare questo giochino: poni z=-7, e per magia trovi subito f(z)=z+7. O anche f(z)=0, quindi f è identicamente nulla (??). E' più chiaro che questo sia un errore?
Adesso che mi sovviene, forse questa era anche la domanda di Maioc92.
Tornando al problema, per arrivare all'equazione $ f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y) $ basta qualche sostituzione+smanettamento. Ti dico come l'ho ricavata io, ma è possibile che non abbia seguito la strada più semplice.
Si parte da $ f(x+f(y))=f(x)+y+7 $.
$ x:=0,\ y:=x \ \leadsto\ f(f(x))=x+f(0)+7 $
$ y:=0\ \leadsto\ f(x+f(0))=f(x)+7 $
E queste le sapevamo. Poi puoi considerare $ f(f(f(x))) $, che per associatività è uguale a 2 cose:
$ f(x+7)+7 = f(x+7+f(0))= f(f(f(x))) = f(x)+f(0)+7 $
da cui $ f(x+7)=f(x)+f(0) $.
$ y:=f(z)\ \leadsto\ f(x+f(f(z)))=f(x)+f(z)+7 $
da cui finalmente $ f(x+z)+f(0)=f(x)+f(z) $, usando le 3 equazioni trovate prima.
Perché l'ultima sostituzione y:=f(z) ha senso? Perché sappiamo che f è surgettiva (discorso di prima), quindi per ogni y esiste uno z adatto che rende possibile la sostituzione. Qual è il campo d'esistenza di z? Tutto Q, perché qualunque sia z, f(z) è razionale, e y varia su tutti i razionali.
Quindi effettivamente abbiamo un'equazione simil-Cauchy per ogni x e y razionali:
$ f(x+y)+f(0)=f(x)+f(y) $
Che si fa? Ci sono 2 modi. O si procede a mano adattando la dimostrazione di Cauchy a questo caso generalizzato, oppure si rende l'equazione in forma di Cauchy, introducendo g(x):
$ f(x):=g(x)+f(0)\ \leadsto\ g(x+y)=g(x)+g(y) $
g è una funzione da Q a Q? Sì, perché g(x)=f(x)-f(0). L'equazione vale per ogni x e y razionali? Sì, perché non abbiamo toccato le variabili, solo le funzioni...
Questa è di Cauchy standard, e per la teoria sappiamo allora che
$ g(x)=g(1)x $
da cui $ f(x)=g(1)x+f(0) $
Quali sono i possibili valori per g(1) e f(0)? Sostituiamo nell'equazione di partenza:
$ f(x):=ax+b\ \leadsto\ (a^2-1)y=7-ab $
Questa deve valere per ogni y razionale, e la liquidiamo con 2 sostituzioni:
$ y:=0\ \leadsto\ ab=7 $
$ y:=1\ \leadsto\ a^2=1 $
Quindi $ a=\pm 1 $, $ b=\pm 7 $, e vissero tutti felici e contenti.
