OliForum Matematico

Ah si scusami, l.d.=linearmente dipendenti, comunque si, hai scritto sostanzialmente anche tu le stesse cose

jordan ha scritto: e≠è, o≠ò..

vabe, ormai ci ho fatto l'abitudine a non usare piu gli accenti quando scrivo al pc..

jordan ha scritto: Comunque, sì, è ovviamente giusto.. detto in altro modo, disegnata la matrice quadrata di ordine n+1 con tutti i coefficienti dei polinomi, le colonne sono l.d. poichè una radici è comune a tutti, per cui saranno l.d. anche le righe

Grande soluzione!! hai ridotto il tutto a un paio di righe!

Per non sconvolgere il gentile pubblico, posto una soluzione più elementare (che poi è la prima che mi è venuta in mente, forse a causa della mia scarsezza in algebra lineare..):

Siano $ p_0(x),\dots ,p_{n+1}(x) $ dei polinomi che formano un controesempio al problema e che minimizzano la somma dei gradi. Chiaramente, visto che sono un controesempio, nessuno di questi polinomi può essere di grado 0, come osserva Natalino. Allora ce ne sono due di grado uguale, diciamo $ p_0 $ e $ p_1 $. È chiaro (basta scrivere i due polinomi) che esiste $ a $ complesso tale che $ p_0(x)+ap_1(x)=q(x) $ dove il grado di q è minore del grado di $ p_0 $

Ora nel mio gruppo di polinomi sostituisco $ p_0(x) $ con $ q(x) $ e ho trovato un controesempio dove la somma dei gradi è minore.

Bellissima dimostrazione Piever! Volevo inoltre ringraziare Jordan per avere sempre tanta pazienza . La cosa bella di questo forum è trovare sempre gente disposta ad aiutarti; grazie mille