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EvaristeG ha scritto:Scusatemi, perché $ \mathbb{Q} $?

Non credo ci sia qualcosa di sbagliato in questo, è una ipotesi dell'esercizio...

Ho risolto questa disuguaglianza come segue (sempre con a,b,c razionali):

$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \geq 8a^2b^2c^2 $

$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) - 8a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ a^4b^2+a^4c^2+a^2c^4+a^2b^4+b^4c^2+b^2c^4-6a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ (a^2b)^2 +(a^2c)^2+(ac^2)^2+(ab^2)^2+(b^2c)^2+(bc^2)^2-6a^2b^2c^2 \geq 0 $
$ (a^2b-b^2c)^2+(a^2c-b^2c)^2+(ac^2-ab^2)^2 \geq 0 $

Quindi anche qui si è ridotto tutto ad una somma di quadrati ma potreste mostrarmi lo svolgimento dell'esercizio con uno dei metodi elencati prima? Magari il più veloce?


Grazie della pazienza ...

quello che evaristeg intendeva è che sarebbe stato lo stesso con le variabili reali..

InTheDark ha scritto:

EvaristeG ha scritto:Scusatemi, perché $ ~\mathbb{Q} $?

Non credo ci sia qualcosa di sbagliato in questo, è una ipotesi dell'esercizio...

Nulla di sbagliato, ma queste disuguaglianze valgono anche in $ ~\mathbb{R} $ (o alla peggio in $ \mathbb{R}^+ $)

Per AM-GM
$ $\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{b^2+c^2}{2}\cdot\frac{c^2+a^2}{2}\ge\sqrt{a^2b^2}\cdot\sqrt{b^2c^2}\cdot\sqrt{c^2a^2}=a^2b^2c^2 $
che è la tesi

L'ultima che hai postato io la farei per bunching:
$ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \geq 8a^2b^2c^2 $
che è equivalente svolgendo i calcoli a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^2c^0\geq \sum_{sym}a^2b^2c^2 $
Che è vera per bunching :)

Si, certamente valgono anche per i reali, ma la domanda era un pò insensata... Era lecito prendere dei razionali quindi più che domandare poteva dare un consiglio... Ad ogni modo, grazie per il vostro aiuto!