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SkZ ha scritto:Ammetto che avevo dimenticato di scrivere che f e' una funzione.
Se la relazione inversa g di una funzione f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X (g e' definita su tutto Y in quanto funzione), ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y (a un y e' associato un solo x, ergo non esistono due punti di X che sono associati allo stesso y), ergo f e' iniettiva.

Avevo sottointeso solo cose ovvie, proprie della definizione. Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.

Uhm, ora mi ci trovo un po' di più. Però il problema richiedeva di dimostrare che, data una funzione $ f $ bigettiva, la sua inversa è bigettiva. Tu hai dimostrato che, se una funzione ammette un'inversa, allora la funzione di partenza è bigettiva. Il che peraltro è verissimo! Però non è la bigettività dell'inversa... Volendo si può aggirare la cosa affermando che la funzione $ f $ è proprio l'inversa di $ g $ (nelle tue notazioni), quindi ripetendo il ragionamento concludere che anche $ g $ è bigettiva. Era questo che intendevi?

SkZ ha scritto:Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.

Il motivo per cui non sono stato preciso nella definizione di funzione è che, ad un primo approccio, credo, può bastare la definizione "ingenua" di funzione come "legge". Comunque, per la cronaca, dati due insiemi $ A,B $, una relazione $ r $ tra questi due insiemi è semplicemente un sottoinsieme di $ A \times B $, ossia $ r \subseteq A \times B $. Una funzione $ f: A \to B $ è dunque un sottoinsieme $ f \subseteq A \times B $ tale che per ogni $ x \in A $ esiste unico $ y \in B $ tale che $ (x,y) \in f $. A questo punto, forti dell'unicità, si definisce $ y=f(x) $. Ecco, così penso che abbiamo detto tutto!

Ani-sama ha scritto:

SkZ ha scritto:Ammetto che avevo dimenticato di scrivere che f e' una funzione.
Se la relazione inversa g di una funzione f e' una funzione allora questa ad ogni punto y di Y associa un solo punto x in X tale che x sia in relazione con y tramite f. Questo significa che:
1) tutti i punti di Y sono immagini di punti di X (g e' definita su tutto Y in quanto funzione), ergo f e' suriettiva;
2) punti distinti di X sono associati a punti distinti di Y (a un y e' associato un solo x, ergo non esistono due punti di X che sono associati allo stesso y), ergo f e' iniettiva.

Avevo sottointeso solo cose ovvie, proprie della definizione. Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.

Uhm, ora mi ci trovo un po' di più. Però il problema richiedeva di dimostrare che, data una funzione $ f $ bigettiva, la sua inversa è bigettiva. Tu hai dimostrato che, se una funzione ammette un'inversa, allora la funzione di partenza è bigettiva. Il che peraltro è verissimo! Però non è la bigettività dell'inversa... Volendo si può aggirare la cosa affermando che la funzione $ f $ è proprio l'inversa di $ g $ (nelle tue notazioni), quindi ripetendo il ragionamento concludere che anche $ g $ è bigettiva. Era questo che intendevi?

Allora, qualunque relazione ammette un relazione inversa, ergo ogni funzione ammette una relazione inversa.
Quello che ho dimostrato e' che se la relazione inversa di una funzione f e' pure una funzione, allora f e' bigettiva. Preferisco non sottintendere con "inversa" "funzione inversa".
Prima ho anche dimostrato che la relazione inversa di una funzione bigettiva e' una funzione.
Ora non sto aggirando affermando che se g e' la relazione inversa di f allora f e' la relazione inversa di g. Questo e' vero per definizione.
I 2 "teoremi" assieme dimostrano che la funzione inversa di una funzione bigettiva e' bigettiva.

Ani-sama ha scritto:

SkZ ha scritto:Infatti anche tu hai omesso di definire cosa e' una relazione.

Il motivo per cui non sono stato preciso nella definizione di funzione è che, ad un primo approccio, credo, può bastare la definizione "ingenua" di funzione come "legge". Comunque, per la cronaca, dati due insiemi $ A,B $, una relazione $ r $ tra questi due insiemi è semplicemente un sottoinsieme di $ A \times B $, ossia $ r \subseteq A \times B $. Una funzione $ f: A \to B $ è dunque un sottoinsieme $ f \subseteq A \times B $ tale che per ogni $ x \in A $ esiste unico $ y \in B $ tale che $ (x,y) \in f $. A questo punto, forti dell'unicità, si definisce $ y=f(x) $. Ecco, così penso che abbiamo detto tutto!

io intendevo solo dire che certi concetti si danno per noti. Quando si tratta solo di rispiegare a parole, si puo' omettere per brevita'. Quanto aggiunto fra parentesi non faceva altro che riscrivere quanto affermato prima, non aggiungeva nulla. Casomai un po' di chiarezza nel passaggio. Per quello l'ho omesso.
Nessuno nelle dimostrazioni da' la definizione di relazione perche' si ritiene superfluo, a volte si ripete quella di funzione per maggior precisione.
Come non si da mai la definizione di numero naturale o numero razionale a meno che venga usata pesantemente.

In una gara probabilmente avrei specificato meglio i passaggi logici, in questo caso ho preferito essere conciso.

SkZ ha scritto:io intendevo solo dire che certi concetti si danno per noti.

Perche' come disse Giuseppe DeMarco

DeMarco ha scritto:Vi hanno dato per scontato che questo è vero: giusto, non è che si debba dimostrare tutto.