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iademarco ha scritto:$ r^{2100} \equiv 1 \pmod {21} $ dato che $ a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m $...Quindi l'equazione è impossibile

Mmmh, non capisco quel "quindi"

iademarco ha scritto:jordan vuole solamente far sembrare difficili le cose facili...naturalmente skerzo...ma anche no!

LOL

Bentornato comunque e buonanotte!

Grazie innanzitutto

Comunque abbiamo nel primo membro una somma $ \equiv 1 \pmod {21} $ mentre il secondo è $ \equiv 0 \pmod {21} $, dunque non potranno mai essere uguali le 2 quantità, quindi l'equazione è impossibile...non so se era questo che intendevi...forse la faccio troppo facile io boh

iademarco ha scritto:
danielf ha scritto:dimostrare che non possono esistere due interi positivi r e k tali che:
$ r ^{2100}+2100!=21^k $
Non si potrebbe più semplicemente considerare l'equazione modulo 21??

$ r^{2100} \equiv 1 \pmod {21} $ dato che $ a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m $

$ 2100! \equiv 0 \pmod {21} $

$ 21^k \equiv 0 \pmod {21} $

Quindi l'equazione è impossibile
jordan vuole solamente far sembrare difficili le cose facili...naturalmente skerzo...ma anche no!

ma scusa:
$ \phi(21) $ non è 12?perchè viene fuori 2100?

danielf ha scritto: ma scusa:
$ \phi(21) $ non è 12?perchè viene fuori 2100?[/tex]

$ r^{12} \equiv 1 \pmod {21} $, ergo $ r^{2100}={r^{{12} \cdot {175}} \equiv 1^{175} \equiv 1 \pmod {21} $

@iademarco, secondo te, se prendi due interi positivi $ x,y $ entrambi divisibili per un intero $ d>1 $ è possibile che per qualche $ n>0 $ vale $ x \mid y^n-1 $

jordan ha scritto:@iademarco, secondo te, se prendi due interi positivi $ x,y $ entrambi divisibili per un intero $ d>1 $ è possibile che per qualche $ n>0 $ vale $ x \mid y^n-1 $

Credo di no...cmq ancora non capisco per quale motivo non va bene il mio ragionamento

Sei d'accordo che r è multiplo di 21 no? Allora come puoi applicare il teorema di Eulero su r modulo 21? r dovrebbe essere coprimo con 21..

ma per k>2001 è la stessa cosa no?

jordan ha scritto:Sei d'accordo che r è multiplo di 21 no? Allora come puoi applicare il teorema di Eulero su r modulo 21? r dovrebbe essere coprimo con 21..

emh...si

danielf ha scritto:ma per k>2001 è la stessa cosa no?

Con stessa cosa che intendi?

jordan ha scritto: sai che r è un intero positivi multiplo di 21, quindi è almeno 21. Quindi $ r^{2100} $ è almeno $ 21^{2100} $. Quindi può esistere un intero positivo h tale che $ r^{2100}+h=21^k $?

No, non è la stessa cosa..

Maioc92 ha scritto:(se k>2100 (e non 2001 )) Ma allora $ 2100!=21^k-(21n)^{2100} $ con $ k\ge 2100 $. E' ovvio che $ 21^{2100}|RHS $ ma $ 21^{2100} $ non divide $ 2100! $, il che è assurdo

jordan ha scritto:No, non è la stessa cosa..
Maioc92 ha scritto:(se k>2100 (e non 2001 )) Ma allora $ 2100!=21^k-(21n)^{2100} $ con $ k\ge 2100 $. E' ovvio che $ 21^{2100}|RHS $ ma $ 21^{2100} $ non divide $ 2100! $, il che è assurdo

allora nn ho capito

danielf ha scritto:
jordan ha scritto:No, non è la stessa cosa..
Maioc92 ha scritto:(se k>2100 (e non 2001 )) Ma allora $ 2100!=21^k-(21n)^{2100} $ con $ k\ge 2100 $. E' ovvio che $ 21^{2100}|RHS $ ma $ 21^{2100} $ non divide $ 2100! $, il che è assurdo
allora nn ho capito

Hai che 21 divide r, fin qui spero che si siamo. In particolare 7 divide r e poniamo r=7N.

(Visto che il caso k<2100 per cui supponiamo che sia maggiore o uguale a 2100).

L'equazione che abbiamo è della forma $ (7N)^{2100}+2100!=21^k $.

Spero sarai d'accordo che in questo caso $ 7^{2100} $ divide sia $ 21^k $ che $ (7N)^{2100} $.

Ma allora $ 7^{2100} $ divide anche $ 2100! $.

La domanda ora è: è vero che $ 7^{2100} $ divide $ 2100! $ ?

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