OliForum Matematico

Tibor Gallai ha scritto:

Iuppiter ha scritto:Quale?

Ti sei (quasi) risposto da solo nel tuo 1° messaggio.

Per caso la disposizione è quella piramidale con 4 sfere di base ed una di punta?

Sì.
...Quindi...?

4000(radical2+1)
??

Perché? Hai fatto dei conti, o hai osservato qualcosa...........?

Comunque, succede questo: avevamo 2 candidati ottimi non isometrici, e guarda caso si possono piazzare entrambi nella stessa "sfera minima". Non vi sembra un fatto notevole?? Riuscite a produrre altri esempi di ciò, aggiungendo sferette?

Tibor Gallai ha scritto:avevamo 2 candidati ottimi non isometrici, e guarda caso si possono piazzare entrambi nella stessa "sfera minima". Non vi sembra un fatto notevole??

sono troppo profano per comprendere...

cmq l'ho risolto pensando ke si poteva riportare sul piano tralasciando la sfera di punta (ke è comunque tangente alla sfera grande).
così si notava ke la distanza fra sfere opposte era radical2-1, essendo quelle ai vertici di un quadrato. In effetti si potrebbe aggiungere un'altra sferetta ed il risultato sarebbe uguale.

pauk94 abiuso ha scritto:tralasciando la sfera di punta (ke è comunque tangente alla sfera grande)

Sì, sarebbe meglio spiegare brevemente come mai è tangente alla sfera grande.
Se uno non vuole mettersi a fare conti, può ragionare sulla simmetria della figura che viene fuori, oppure (meglio!) osservare che esiste un poliedro regolare chiamato ottaedro.......

pauk94 abiuso ha scritto:sono troppo profano per comprendere...

Non c'è molto da comprendere: abbiamo individuato 2 modi per paccare le 5 sfere, ed entrambi sembravano buoni. Studiandoli, abbiamo visto che sono ugualmente buoni. Quindi esistono 2 modi ottimi di paccare le 5 sfere, che non sono isometrici fra loro. Spostando un po' 2 delle 4 sferette di "base" nella seconda configurazione si ottengono infinite altre configurazioni non isometriche tra loro, e tutte contenute nella stessa sfera minima: queste sono tutte e sole le configurazioni ottime. IMHO è un fatto notevole che andrebbe approfondito (c'è un motivo profondo per cui questo accade?), magari per voi è ovvio o poco interessante...

Voglio dire questo: immaginiamo di mettere n biglie in un involucro di nylon, e di aspirare via l'aria dall'involucro. Come saranno disposte le biglie quando l'involucro sarà sottovuoto? Ovviamente dipende dalla configurazione di partenza... 4 biglie si disporranno (quasi) sempre a tetraedro, 5 biglie si disporranno (quasi) sempre in una delle configurazioni che abbiamo appena visto, etc. E' sempre vero che le configurazioni "sottovuoto stabili" hanno lo stesso raggio? Ai posteri l'ardua sentenza.

non credo...basti pensare con 6 palline la configurazione ad 8aedro e quella con 2 triangoli sovrapposti, non credo siano di uguale raggio... a meno che non ritieni la seconda una situazione "stabile"

Tibor Gallai ha scritto:Voglio dire questo: immaginiamo di mettere n biglie in un involucro di nylon, e di aspirare via l'aria dall'involucro. Come saranno disposte le biglie quando l'involucro sarà sottovuoto? Ovviamente dipende dalla configurazione di partenza... 4 biglie si disporranno (quasi) sempre a tetraedro, 5 biglie si disporranno (quasi) sempre in una delle configurazioni che abbiamo appena visto, etc. E' sempre vero che le configurazioni "sottovuoto stabili" hanno lo stesso raggio? Ai posteri l'ardua sentenza.

E' un po' come questo, solo che è in due dimensioni e si parte dal raggio, non dal numero di oggetti da inserire...

pauk94 abiuso ha scritto:basti pensare con 6 palline la configurazione ad 8aedro e quella con 2 triangoli sovrapposti, non credo siano di uguale raggio... a meno che non ritieni la seconda una situazione "stabile"

La seconda situazione non è stabile.

Iuppiter ha scritto: La seconda situazione non è stabile.

forse l'hai già considerato, comunque i 2 triangoli nella mia idea non sono sovrapposti vertice a vertice, ma uno è ruotato di 60 gradi rispetto all'altro.

pauk94 abiuso ha scritto:non credo...basti pensare con 6 palline la configurazione ad 8aedro e quella con 2 triangoli sovrapposti, non credo siano di uguale raggio... a meno che non ritieni la seconda una situazione "stabile"

Non ho capito cosa intendi con 2 triangoli sovrapposti...

Comunque, con "configurazione stabile" intendo dire che ad essa è associato un minimo locale del raggio della sfera circoscritta, rispetto allo spostamento delle sferette.
In pratica vuol dire che, comunque si spostino "di poco" le sferette, il raggio della loro sferona circoscritta non diminuisce.

Esempio: 4 sfere disposte a quadrato possono restare "ferme" anche quando l'involucro è sottovuoto (perché le forze si controbilanciano grazie alla simmetria della configurazione), ma non appena ne sposto una di pochissimo, la configurazione converge al tetraedro. E sì, il tetraedro è stabile.


EDIT:

pauk94 abiuso ha scritto:i 2 triangoli nella mia idea non sono sovrapposti vertice a vertice, ma uno è ruotato di 60 gradi rispetto all'altro.

Ok, allora non è altro che la configurazione a ottaedro... L'hai solamente "ruotata"...

Tibor Gallai ha scritto: Ok, allora non è altro che la configurazione a ottaedro... L'hai solamente "ruotata"...

e c'hai ragione!
ho fatto la prova con le biglie!

scusate, ma non andrebbe dimostrato che non ci sono dlle conformazioni possibili migliori ( nel senso che possono dare una sfera di minor volume) rispetto a quelle da voi utilizzate (sia per le 4 che per le 5 palle) ?
la mia è solo una domanda di un ignorantello

Andrebbe. Però è fastidiosissimo, dovresti considerare tutte le configurazioni di tutte le varie sfere, e pur essendo un lavoro di lunghezza finita, è qualcosa che uno non vorrebbe mai trovarsi a dover fare.

Comunque il problema era da gara a squadre, quindi bastava una risposta numerica e l'intuizione che fosse quella giusta. Molti problemi a risposta numerica (specie nelle gare a squadre dove, che io sappia, non viene fornita una "soluzione ufficiale") sarebbero difficilissimi se si dovesse davvero dare una dimostrazione della risposta.

Per il problema generale di paccare n sfere, direi che un bloccone più grande possibile viene disposto "a tetraedri", che è la configurazione che riempie lo spazio meglio. Le altre (gli spiccioli) vengono messe intorno a queso bloccone, e per queste oserei dire che c'è molta variabilità e "caoticità". La forma base del bloccone è un rombocubottaedro, a cui ovviamente si possono attaccare pezzi ad libitum.
Il calcolo efficiente del raggio ottimo, dato n, mi sembra un problema non facilissimo. Ma si potrebbe calcolare quanto si perde in percentuale mettendo tutto in un rombocubottaedro più piccolo possibile. Secondo me non si perde molto. (ovviamente si possono usare poliedri migliori, ma il calcolo inizia a diventare proibitivo)