Il mio percorso

[OriginalBBB]

Giorno 6 - Aritmetica modulare
Ora so cosa è, grazie a wikipedia (Ci credete se dico che ogni qualvolta scrivevate il segno di congruenza e la cosa dei mod non capivo nulla?). Conoscete info online al riguardo (e riguardo al piccolo teorema di fermat) extra-wikipedia ?

[Maioc92]

mi sento di consigliare, come libro imperdibile riguardo l'aritmetica modulare e la teoria dei numeri in generale, "aritmetica superiore" di Harold Davenport. Lo trovi (o almeno dovresti trovarlo) in una qualsiasi biblioteca ben fornita al tuo ritorno in Italia. In alternativa esistono i video degli stage senior degli anni passati, ma avere un riferimento cartaceo aiuta non poco

[SkZ]

anche "Cos e' la Matematica" mi pare che parli al riguardo

piu' basilare e generica, ma per iniziare mi pare possa andarti bene

[OriginalBBB]

Complessivamente questa ultima settimana ho battutto la fiacca
Giorno 13 Esercizi di aritmetica modulare

Come li avreste risolti altrimenti? Soprattutto l'ultimo. Ho sfogliato 7,8 edizioni di febbraio per trovare questi, ed online per ora trovo solo cose semplici, le applicazioni alle proprietà basiliari, sapete di link a problemi più complessi?

Feb 97, es 5
Trovare la cifra delle unità di 2^81.

Sappiamo che le congruenze modulo 10 del 2 sono periodici di periodo 4. Dato che 81 è congruo ad 1 mod 4, la risposta al quesito è data dalla congruenza di 2^1 mod 10, ovvero 2.

Feb 99 es 12 Qual e la cifra delle unita del numero $ 2^{2^1} + 2^{2^2} + 2^{2^3} + 2^{2^4} + : : :+ 2^{2^{1999}} $?

Notiamo che a partire dal secondo termine, 2^4, tutti gli esponenti sono multipli di 4, ed i numeri sono quindi congrui a 6 modulo 10, quindi
$ 2^{2^1} + 2^{2^2} + 2^{2^3} + 2^{2^4} + : : :+ 2^{2^{1999}} \equiv 2+6x1995 (mod 10), \equiv 2 (mod 10) $

Feb 01 es 1 Un mucchio di sabbia puµo essere trasportato in 4 viaggi caricando al massimo un autocarro o, in
alternativa, in 12 viaggi caricandone al massimo un altro piu piccolo. Se possiamo utilizzare a pieno
carico entrambi gli autocarri, e vogliamo che entrambi compiano lo stesso numero di viaggi, quanti
viaggi dovrµa fare ciascun autocarro per il trasporto di tutta la sabbia?

Chiamiamo x la quantità di sabbia
Sappiamo che è congruo a 0 (mod 4), e quindi si può esprimere come 4k; ed è congruo a 0 (mod 12) e quindi si può esprimere come 12h. Una soluzione all'identità 4k=12h è k=3 e h=1
Quindi i carri in un viaggio simultaneo trasportano 4/12 della sabbia, che trasportano tutta in 3 viaggi.

Feb 03 es 16 (dimostrativo)
Sia $ x_0, x_1, x_2,... $la successione definita da $ x=2 $ e $ x_{n+1} = 5+ (x_n)^2 $, dimostrare che non compaiono numeri primi oltre a 2.

Lo risolvo richiamando il piccolo teorema di fermat

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 0 (mod 4) $
$ x_{n+1} $ sarebbe pari e quindi non primo

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 1 (mod 4) $
5 dovrebbe essere un quadrato perfetto, che non è

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 2 (mod 4) $
$ (x_n)^2 \equiv 1 $ , quindi $ (x_n)^2 $ sarebbe dispari, e sommato ad un altro dispari, 5, darebbe un risultato pari, non primo

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 3 (mod 4) $
$ 3+ (x_n)^2 \equiv 1 $ e 3 dovrebbe essere un quadratto perfetto, che non è

Numeri complessi
Ho visto sulle schede di gobbino i numeri complessi, ma quali le loro applicazioni? Solo a rendere eleganti le formule ? Non mi è mai capitato di vedere un esercizio in cui si possa usarli, e poi si chiede quasi sempre di numeri interi o reali

[ndp15]

Non ho capito la soluzione all'ultimo esercizio?Dove e come applichi l'ultimo teorema di Fermat?

[jordan]

Feb 03 es 16 (dimostrativo)
Sia $ x_0, x_1, x_2,... $la successione definita da $ x=2 $ e $ x_{n+1} = 5+ (x_n)^2 $, dimostrare che non compaiono numeri primi oltre a 2.

Lo risolvo richiamando il piccolo teorema di fermat

[...]
Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 1 (mod 4) $
5 dovrebbe essere un quadrato perfetto, che non è
[...]

Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 3 (mod 4) $
$ 3+ (x_n)^2 \equiv 1 $ e 3 dovrebbe essere un quadratto perfetto, che non è

No, credo che hai molta confusione su cosa sia un residuo..
Era semplicemente che sono divisibili a turno per 2 e per 3.

[SkZ]

per quanto riguarda il termine modulo 4, sappiamo che $ ~x\equiv \{\pm1,0,2 \}\mod{4} $ ergo $ ~x^2\equiv \{1,0 \}\mod{4} $, quindi
quindi $ ~5+x^2\equiv \{1,2 \}\mod{4} $

Il Piccolo teorema di Fermat dice che
dati $ ~a\in\mathbb{N} $ e $ ~p\in\mathcal{P} $ (primo) allora $ ~a^p\equiv a \mod{p} $
se poi $ ~p\not|a $ allora $ ~a^{p-1}\equiv 1 \mod{p} $

[OriginalBBB]

Mi sono sbagliato, mi riferivo a questo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... e_quadrati

[jordan]

Apparte che è sbagliato lo stesso perchè la rappresentazione non è detto che debba essere unica. Cioè, prima dovresti dimostrare il se e solo se. Poi dimostri che è unica (il che è vero e l'identità di Jacobstal esplicita anche quali siano questi due interi).
E soprattutto, per i primi congrui 3 modulo 4 come la metti?

Ps. Ok che $ x^2+5 \in \{1,2\} $ in $ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} $ come dice Skz, ma non mi pare di vederlo nella tua dimostrazione..

Edit: il discorso prosegue qui viewtopic.php?t=14095