Complessivamente questa ultima settimana ho battutto la fiacca
Giorno 13 Esercizi di aritmetica modulare
Come li avreste risolti altrimenti? Soprattutto l'ultimo. Ho sfogliato 7,8 edizioni di febbraio per trovare questi, ed online per ora trovo solo cose semplici, le applicazioni alle proprietà basiliari, sapete di link a problemi più complessi?
Feb 97, es 5
Trovare la cifra delle unità di 2^81.
Sappiamo che le congruenze modulo 10 del 2 sono periodici di periodo 4. Dato che 81 è congruo ad 1 mod 4, la risposta al quesito è data dalla congruenza di 2^1 mod 10, ovvero 2.
Feb 99 es 12 Qual e la cifra delle unita del numero $ 2^{2^1} + 2^{2^2} + 2^{2^3} + 2^{2^4} + : : :+ 2^{2^{1999}} $?
Notiamo che a partire dal secondo termine, 2^4, tutti gli esponenti sono multipli di 4, ed i numeri sono quindi congrui a 6 modulo 10, quindi
$ 2^{2^1} + 2^{2^2} + 2^{2^3} + 2^{2^4} + : : :+ 2^{2^{1999}} \equiv 2+6x1995 (mod 10), \equiv 2 (mod 10) $
Feb 01 es 1 Un mucchio di sabbia puµo essere trasportato in 4 viaggi caricando al massimo un autocarro o, in
alternativa, in 12 viaggi caricandone al massimo un altro piu piccolo. Se possiamo utilizzare a pieno
carico entrambi gli autocarri, e vogliamo che entrambi compiano lo stesso numero di viaggi, quanti
viaggi dovrµa fare ciascun autocarro per il trasporto di tutta la sabbia?
Chiamiamo x la quantità di sabbia
Sappiamo che è congruo a 0 (mod 4), e quindi si può esprimere come 4k; ed è congruo a 0 (mod 12) e quindi si può esprimere come 12h. Una soluzione all'identità 4k=12h è k=3 e h=1
Quindi i carri in un viaggio simultaneo trasportano 4/12 della sabbia, che trasportano tutta in 3 viaggi.
Feb 03 es 16 (dimostrativo)
Sia $ x_0, x_1, x_2,... $la successione definita da $ x=2 $ e $ x_{n+1} = 5+ (x_n)^2 $, dimostrare che non compaiono numeri primi oltre a 2.
Lo risolvo richiamando il piccolo teorema di fermat
Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 0 (mod 4) $
$ x_{n+1} $ sarebbe pari e quindi non primo
Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 1 (mod 4) $
5 dovrebbe essere un quadrato perfetto, che non è
Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 2 (mod 4) $
$ (x_n)^2 \equiv 1 $ , quindi $ (x_n)^2 $ sarebbe dispari, e sommato ad un altro dispari, 5, darebbe un risultato pari, non primo
Se $ 5+ (x_n)^2 \equiv 3 (mod 4) $
$ 3+ (x_n)^2 \equiv 1 $ e 3 dovrebbe essere un quadratto perfetto, che non è
Numeri complessi
Ho visto sulle schede di gobbino i numeri complessi, ma quali le loro applicazioni? Solo a rendere eleganti le formule
? Non mi è mai capitato di vedere un esercizio in cui si possa usarli, e poi si chiede quasi sempre di numeri interi o reali