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attenzione, non $ 2k^2 $ ma magari $ 2H^2 $, insomma non è lo stesso $ k $ di prima.

anzi noo ho capito!!! Tu devi dimostrare che se un numero soddisfa l'equazione $ n(n+1) =2k^2 $ significa che esiste un numero cherende il primo membro il doppio di un quadrato. Ora nell'equazione $ 4n(n+1) = 8k^2 $ ponendo 2k = h si ha $ 4n(n+1) =2h^2 $ quindi il primo membro è il doppio di un quadrato!
Ora mi viene da chiedermi: questa tecnica è limitata alle equazioni che hanno come secondo membro un quadrato...? Mi pare sia piu che altro una proprietà del 2, per cui se per esempio $ a+b=k^2 $ ed esiste un a che verifica l'equazione, allora anche 4(a+b), ma anche 9(a+b), ma anche 16(a+b) perchè sono tutti quadrati! Ho ragione?

Sì ma aspetta, il fatto che il primo membro è il doppio di un quadrato non basta perché non c'è nessuna $ n $ che puoi sostituire ad $ n(n+1) $ per ottenere $ 4n(n+1) $. Se hai capito questo, leggi attentamente la mia dimostrazione iniziale.
Comunque non estrapolare regole generali superficialmente, o tramite esempi: caso per caso, il concetto di questo problema è utile per problemi che ti chiedano di dimostrare l'infinità di certe soluzioni.