Quadrato per troppi n..

[kn]

Metto anche la mia, che sostanzialmente è come tutte le altre:
pongo $ \displaystyle~p(x)=\sum_{i=0}^{2d}a_ix^i $ (con $ \displaystyle~a_{2d}=1 $) e cerco un polinomio a coeff. razionali $ \displaystyle~r(x)=\sum_{i=0}^d b_ix^i $ che "approssimi" bene $ \displaystyle~\sqrt{p(x)} $, cioè tale che $ \displaystyle~r^2(x)=s(x)=\sum_{i=0}^{2d}c_ix^i $ abbia i primi $ \displaystyle~d+1 $ coefficienti uguali a $ \displaystyle~p(x) $. Ciò è possibile in quanto $ \displaystyle~c_m=\sum_{i=\max(m-d,0)}^{\min(m,d)}b_ib_{m-i}~~\forall m $, da cui $ \displaystyle~c_m=\sum_{i=m-d}^d b_ib_{m-i}~~\forall d\le m\le 2d $ e imponendo $ \displaystyle~c_m=a_m~~\forall d\le m\le 2d $ otteniamo le relazioni ricorsive:
$ \displaystyle~b_{2d}=1 $, $ \displaystyle~b_{m-d}=\frac{a_m-\sum_{i=m-d+1}^{d-1}b_ib_{m-i}}{2} $
da cui si può calcolare il valore dei $ \displaystyle~b_i $ facendo decrescere $ \displaystyle~m $ (infatti gli indici dei termini nella sommatoria sono tutti $ \displaystyle~\ge m-d+1 $). Se ora $ \displaystyle~p(n)=r^2(n) $ per infiniti $ \displaystyle~n $ si ha la tesi dal fatto che $ \displaystyle~p(n)-r^2(n) $ se fosse un polinomio dovrebbe avere infinite radici, da cui segue $ \displaystyle~p(x)=r^2(x) $, quindi si può porre $ \displaystyle~q(x)=r(x) $ essendo $ \displaystyle~r(x) $ a coefficienti interi per il lemma di Gauss. Supponiamo quindi per assurdo che $ \displaystyle~p(n)\neq r^2(n) $ per infiniti $ \displaystyle~n\in\mathbb{N}_0 $. Essendo i $ \displaystyle~b_i $ razionali possiamo chiamare $ \displaystyle~t $ il m.c.m. dei denominatori delle loro frazioni ridotte ai minimi termini. Abbiamo $ \displaystyle~|p(x)-r^2(x)|=|\sum_{i=0}^{d-1}(a_i-c_i)x^i|\le|\sum_{i=0}^{d-1}(a_i-c_i)|x^{d-1} $ definitivamente, da cui, ponendo $ \displaystyle~M=|\sum_{i=0}^{d-1}(a_i-c_i)| $, $ \displaystyle~|p(x)-r^2(x)|\le Mx^{d-1} $. Definitivamente vale anche $ \displaystyle~x> tM,~p(x)\ge\frac{n^{2d}}{4},~r(x)\ge\frac{x^{2d}}{2} $ (*). Esiste per quanto supposto un $ \displaystyle~n $ tale che $ \displaystyle~r(n)\neq\sqrt{p(n)}\in\mathbb{N} $ e che rispetti tutte le condizioni suddette valide definitivamente. Ovviamente $ \displaystyle~|\sqrt{p(n)}-r(n)|\ge\frac{1}{t} $ essendo $ \displaystyle~\sqrt{p(n)} $ e $ \displaystyle~r(n) $ diversi e rappresentabili come frazioni dal denominatore $ \displaystyle~\le t $. A questo punto si ottiene la contraddizione
$ \displaystyle~\frac{n^d}{t}=(\sqrt{\frac{n^{2d}}{4}}+\frac{n^d}{2})\cdot\frac{1}{t}\le|\sqrt{p(n)}+r(n)||\sqrt{p(n)}-r(n)|=|p(n)-r^2(n)| $$ \displaystyle~\le Mn^{d-1}<\frac{n^d}{t} $

(*) Infatti si può dimostrare facilmente che per ogni reale $ \displaystyle~\alpha<1 $ vale $ \displaystyle~p(x)\ge \alpha x^{2d} $ definitivamente. Altrettanto vale per $ \displaystyle~r(x) $.

[dario2994]

Io continuo a non capire il lemma finale xD
Quello che uno dimostra col lemma di Gauss e l'altro coi polinomi minimi :|
Al lemma di Gauss c'avevo pensato anche io (l'avevano accennato una volta al senior) per risolvere il lemma ma non sono riuscito ad applicarlo...
Uno tra Jordan e kn può spiegarmi il suo metodo di soluzione... magari tutti e 2; va bene anche in pm... poi tanto lo riscrivo qui io per vedere se ho capito davvero ;)

p.s. a Jordan io ho continuato a rileggere l'identità... ma a me sembra sempre meno un'identità xD Quali sono gli indici della seconda produttoria?

p.p.s. A quanto pare usate strumenti simile perchè uno dei corollari del lemma di Gauss è proprio:

The second result also implies that the minimal polynomial of an algebraic integer has integer coefficients.

[kn]

Lemma di Gauss (nella versione del link di sopra):
Se abbiamo due polinomi a coefficienti interi ognuno con il massimo comun divisore dei coefficienti = 1, allora anche il polinomio del loro prodotto ha il massimo comun divisore dei coefficienti = 1.

In questo caso $ \displaystyle~tr(x) $ è a coefficienti interi con il loro MCD = 1 (per la definizione di t). Adesso pure $ \displaystyle~t^2p(x)=[tr(x)]^2 $ deve avere il MCD dei coefficienti = 1, quindi $ \displaystyle~t=1 $. Segue che $ \displaystyle~r(x) $ è a coefficienti interi.

[dario2994]

Davvero figo
Non ho controllato ma ad occhio e croce il problema si può generalizzare a qualcosa tipo:
Dato un polinomio P(x) a coefficienti interi monico di kn-esimo grado se questo assume per infiniti x interi il valore di una potenza k-esima allora esiste un polinomio Q(x) a coefficienti interi tale che: $ $Q(x)^k=P(x) $

Mi pare che la mia, come anche la tua e quella di yahoo answer (tanto sono praticamente uguali) sono generalizzabili... domani provo e vedo se ho sparato boiate
Non so se la generalizzazione è vera e dimostrabile facilmente ma in ogni caso mi pare una bellissima tesi.

p.s. grazie kn chiarissimo

[kn]

kn-esimo grado

Comunque sì mi pare si possa generalizzare così.. anche in questo caso basta prendere $ \displaystyle~r(x) $ in modo che $ \displaystyle~r^k(x) $ ha i primi n+1 coefficienti uguali a quelli di $ \displaystyle~P(x) $.. Forse la mia versione della dimostrazione è la più facile da generalizzare perché ci si imbroglia di meno:
l'idea è sempre che $ \displaystyle~|P(x)-r^k(x)| $ cresce più o meno come $ \displaystyle~x^{(k-1)n-1} $ ma per infiniti m se la tesi fosse falsa varrebbe$ \displaystyle~|P(m)-r^k(m)|=|\sqrt[k]{P(m)}-r(m)|\cdot|qualcosa~maggiore~di~\alpha m^{(k-1)n}| $, per qualche $ \displaystyle~\alpha\in\mathbb{R}^+ $, e il primo valore assoluto del RHS è almeno una costante..