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Si era quello che pensavo anche io che fosse un polinomio ciclotomico... ma come hai fatto a dimostrare che è sempre il $ 3^{n+1] $ polinomio ciclotomico?

Ti va di postare la soluzione?

Chiamo $ $P(x)=x^{2\cdot 3^k}+x^{3^k}+1 $.
Chiamo $ $m $ una generica radice dell'unità tale che
$ $m^{3^{k+1}}=1 $
$ $m^{3^k}\not=1 $
È chiaro che le radici del $ $3^{k+1}-esimo $ polinomio ciclotomico sono tutte e sole quelle che rispettano tutte le condizioni imposte su m. Sono precisamente $ $2\cdot 3^k $
Dimostro perciò P(m)=0 che conclude dimostrando che P(x) è un polinomio ciclotomico. Chiamo $ n $ una radice terza dell'unità diversa da 1. È chiaro che $ n^2+n+1=0 $ perchè quello è il terzo polinomio ciclotomico.
Concludo con questa catena di uguaglianze:
$ $P(m)=(m^{3^k})^2+(m^{3^k})+1=n^2+n+1=0 $
È ovvio che P(x) non ha altre radici perchè ne ho gia mostrate tante quante il suo grado

p.s. questo problema mi ha costretto a imparare cosa sono i polinomi ciclotomici, che si sono rivelati utilissimi.

Sì, anch'io l'ho risolto così... Era sicuramente un problema carino, ma altrettanto sicuramente inadatto alla gara in cui è stato proposto.

A parte ciò, non conosco una dimostrazione elementare dell'irriducibilità dei polinomi ciclotomici, tranne nel caso particolare dei $ p $-esimi polinomi ciclotomici (con $ p $ primo), che si fa con il criterio di Eisenstein.

Volevo chiederlo anche prima...ma che gara è Mathesis???

La Mathesis è un'associazione di matematica presente (credo) in un po' di città... Quella di Brescia organizza ogni anno questa gara, nulla di più