Inviato: 03 apr 2010, 18:27
Comunque visto che l'avevo già scritta vi propongo la mia dimostrazione, che è più o meno uguale a quella di dario2994.
Sia $ g_i:=2^{2^{i-1}}+1 $ e supponiamo che $ p|g_i $. Allora $ 2^{2^{i-1}}\equiv -1 \pmod p \Longrightarrow 2^{2^i}\equiv (2^{2^{i-1}})^2 \equiv 1 \pmod p $: sicché $ ord_p (2)=2^i $. Dunque $ 2^i | (Z/pZ)^{\times}=p-1 $, ovvero $ p\equiv 1 \pmod {2^i} $. Ne segue che esistono infiniti numeri primi $ \equiv 1 \pmod {2^k} $: basta scegliere un primo $ p_i $ che divida $ g_i $ per ogni $ i\ge k $ (ricordando che $ GCD(g_i, g_j)=1 $ per $ i\neq j $). Come mio solito avrò scritto qualche boiata quindi correggetemi subito
Sia $ g_i:=2^{2^{i-1}}+1 $ e supponiamo che $ p|g_i $. Allora $ 2^{2^{i-1}}\equiv -1 \pmod p \Longrightarrow 2^{2^i}\equiv (2^{2^{i-1}})^2 \equiv 1 \pmod p $: sicché $ ord_p (2)=2^i $. Dunque $ 2^i | (Z/pZ)^{\times}=p-1 $, ovvero $ p\equiv 1 \pmod {2^i} $. Ne segue che esistono infiniti numeri primi $ \equiv 1 \pmod {2^k} $: basta scegliere un primo $ p_i $ che divida $ g_i $ per ogni $ i\ge k $ (ricordando che $ GCD(g_i, g_j)=1 $ per $ i\neq j $). Come mio solito avrò scritto qualche boiata quindi correggetemi subito
! Grazie ancora! Per fare diversi sub/super script uno sopra/sotto l'altro, devo fare ciascuno sopar/sotto al precedente oppure devo mettere tutta la sommatoria precedente tra {}? (mi riferisco per esempio alle produttorie che ho scritto 